Enunciado

No Exercício y = int_(sqrt(x))^0 s e n ( t^2 ) d t , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar integral:

int_(sqrt(x))^0 s e n ( t^2 ) d t = - int_0^(sqrt(x)) s e n ( t^2 ) d t

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = - int_0^(sqrt(x)) s e n ( t^2 ) d t

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (- int_0^(sqrt(x)) s e n ( t^2 ) d t)

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

(d y)/(d x) = - (d)/(d x) int_0^(sqrt(x)) s e n ( t^2 ) d t

= - s e n (sqrt(x))^2 . ( sqrt(x) ) '

= - s e n x . (1)/(2 . sqrt(x))

= (- s e n x)/(2 . sqrt(x))

Resposta

(d y)/(d x) = (- s e n x)/(2 . sqrt(x))

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