No Exercício   y = ∫ x 0   s e n   ( t 2 ) d t   , determine dy/dx

Passo 1

Para determinar o valor de d y d x vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar integral:

∫ x 0   s e n   ( t 2 ) d t   = - ∫ 0 x   s e n   ( t 2 ) d t  

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = - ∫ 0 x   s e n   ( t 2 ) d t  

d y d x = d d x - ∫ 0 x   s e n   ( t 2 ) d t    

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

d y d x = -   d d x ∫ 0 x   s e n   ( t 2 ) d t    

= - s e n   x 2 . ( x ) '

= -   s e n   x . 1 2 . x

= -   s e n   x 2 . x

Resposta

d y d x = -   s e n   x 2 . x

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