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Existe uma função par e ímpar. Qual é?

Passo 1

Da definição, sabemos que uma função par é uma que seja espelhada no eixo y , como uma parábola. E uma função ímpar é uma função também espelhada, porém invertida. A rigor podemos definir uma função par como uma função que satisfaz:

f x = f ( - x )

E uma função é dita ímpar se ela satisfaz:

f - x = - f ( x )

Precisamos de uma função que satisfaça ambas as condições!

Passo 2

Isso pode até parecer estranho, mas perceba que não temos restrição nenhuma quanto à função que podemos escolher. Uma das condições que temos que satisfazer é:

f x = - f ( x )

Vamos escrever apenas f daqui em diante:

f = - f

Passando a - f pro lado esquerdo com o sinal trocado:

f + f = 0

Ou seja:

2 f = 0

Daí tiramos que:

f = 0

Já temos alguma coisa! Só falta verificar se a função constante igual a 0 também satisfaz as outras condições.

Passo 3

Ainda precisamos que:

f - x = f x

E

f - x = - f x

Como a função é constante, alterar alguma coisa na variável x não muda nada, pois para todo valor de x a função tem a mesma imagem. Daí já vemos que ela é par!

Passo 4

Agora precisamos satisfazer f - x = - f ( x ) , que é o mesmo que:

0 = - 0

Então nossa função é ímpar também!

Resposta

f x = 0

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