Enunciado

Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.

(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a transformada de Laplace.

' t + ∫ 0 t t - ξ ξ d ξ = t ;

0 = 0

(b) Diferenciando a equação integrodiferencial um número suficiente de vezes, converta-a em um problema de valor inicial.

(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).

Passo 1

Vamos começar relembrando o teorema sobre a convolução. Ele diz que:

Se L f ( t ) = F ( s ) e L g ( t ) = G ( s ) existem e

L h ( t ) = H s = L f ( t ) L g ( t ) = F s G s ,

a função h ( t ) é dada por:

h t = ∫ 0 t f ( t - ξ ) g ξ d ξ

Para o nosso exercício:

f t = t

g t = t

Então

h t = ∫ 0 t t - ξ ξ d ξ

E ficamos com:

' t + h ( t ) = t

Aplicando a transformada de Laplace:

L ' t + L h t = L t

s L t - 0 + H s = 1 s 2

s L t - 0 + L t L t = 1 s 2

s + 1 s 2 L t = 1 s 2

s 3 + 1 s 2 L t = 1 s 2

L t = 1 s 3 + 1

L t = 1 s + 1 x 1 s 2 - s + 1

L t = 1 s + 1 x 1 s - 1 2 2 + 3 4

L t = 1 s + 1 x 3 2 3 2 ( s - 1 2 2 + 3 4 )

Vamos chamar:

J s = 1 s + 1

K s = 3 2 3 2 ( s - 1 2 2 + 3 4 )

K s = 2 3 x 3 2 s - 1 2 2 + 3 4  

K s = 2 3 3 x 3 2 s - 1 2 2 + 3 4  

Então, ficamos com:

L t = J s K ( s )

Pelo teorema da convolução:

t = ∫ 0 t j t - τ k τ d τ

Usando a tabela 6.2.1 do livro podemos verificar que:

J s = 1 s + 1 → j t = e - t

K s = 2 3 3 x 3 2 s - 1 2 2 + 3 4 → k t = 2 3 3 e 1 2 t sen ⁡ 3 2 t  

Voltando ao teorema sobre a convolução:

t = ∫ 0 t e - ( t - τ ) 2 3 3 e 1 2 τ sen ⁡ 3 2 t d τ

t = 2 3 3 e - t ∫ 0 t e 3 2 τ sen ⁡ 3 2 τ d τ

t = 3 3 e 1 2 t sen ⁡ 3 2 t - 1 3 e 1 2 t cos ⁡ 3 2 t + 1 3 e - t

Passo 2

Agora que encontramos a função t o exercício nos pede para diferenciar um número suficiente de vezes. Então:

' t = d d t 3 3 e 1 2 t sen ⁡ 3 2 t - 1 3 e 1 2 t cos ⁡ 3 2 t + 1 3 e - t

' t = 3 3 1 2 e 1 2 t sen ⁡ 3 2 t + 3 2 e 1 2 t cos ⁡ 3 2 t - 1 3 1 2 e 1 2 t cos ⁡ 3 2 t - 3 2 e 1 2 t sen ⁡ 3 2 t - 1 3 e - t

' t = 3 3 e t / 2 sen ⁡ 3 2 t + 1 3 e 1 2 t cos ⁡ 3 2 t - 1 3 e - t

E

' ' t = d d t ' t = d d t 3 3 e t / 2 sen ⁡ 3 2 t + 1 3 e 1 2 t cos ⁡ 3 2 t - 1 3 e - t

' ' t = 3 3 1 2 e t 2 sen ⁡ 3 2 t + 3 2 e t 2 cos ⁡ 3 2 t + 1 3 1 2 e t 2 cos ⁡ 3 2 t - 3 2 e t 2 sen ⁡ 3 2 t + 1 3 e - t

' ' t = 2 3 e t 2 cos ⁡ 3 2 t + 1 3 e - t

Temos ainda

' ' ' t = d d t ' ' t = d d t 2 3 e t 2 cos ⁡ 3 2 t + 1 3 e - t

' ' ' t = 2 3 1 2 e t 2 cos ⁡ 3 2 t - 3 2 e t 2 sen ⁡ 3 2 t - 1 3 e - t

' ' ' t = 1 3 e t 2 cos ⁡ 3 2 t - 3 3 e t 2 sen ⁡ 3 2 t - 1 3 e - t

Podemos escrever a equação diferencial:

' ' ' t + t = 3 3 - 3 3 e 1 2 t sen ⁡ 3 2 t + 1 3 - 1 3 e t 2 cos ⁡ 3 2 t + 1 3 - 1 3 e - t

' ' ' t + t = 0

Com as condições de valor inicial:

0 = 3 3 e 0 sen ⁡ 0 - 1 3 e 0 cos ⁡ 0 + 1 3 e 0 = 0

' 0 = 3 3 e 0 sen ⁡ 0 + 1 3 e 0 cos ⁡ 0 - 1 3 e - 0 = 0

' ' 0 = 2 3 e 0 cos ⁡ 0 + 1 3 e 0 = 1

Passo 3

Vamos agora resolver o problema de valor inicial:

' ' ' t + t = 0

Nosso primeiro passo é aplicar a transformada de Laplace:

L ' ' ' t + L t = 0

s 3 Y s - s 2 0 - s ' 0 - ' ' 0 + Y s = 0

s 3 + 1 Y ( s ) - 1 = 0

Y s = 1 s 3 + 1

Y s = 1 s + 1 x 1 s 2 - s + 1

Y s = 1 s + 1 x 1 s - 1 2 2 + 3 4

Y s = 1 s + 1 x 3 2 3 2 ( s - 1 2 2 + 3 4 )

Aplicando a transformada inversa:

L - 1 Y ( s ) = L - 1 1 s + 1 x 3 2 3 2 ( s - 1 2 2 + 3 4 )

Chamando:

J s = 1 s + 1

K s = 3 2 3 / 2 ( s - 1 2 2 + 3 4 )

K s = 2 3 x 3 2 s - 1 2 2 + 3 4  

K s = 2 3 3 x 3 2 s - 1 2 2 + 3 4  

Ficamos com:

L - 1 Y ( s ) = L - 1 J ( s ) x K ( s )

Usando a tabela 6.2.1 do livro podemos verificar que:

J s = 1 s + 1 → j t = e - t

K s = 2 3 3 x 3 2 s - 1 2 2 + 3 4 → k t = 2 3 3 e 1 2 t sen ⁡ t  

Aplicando o teorema sobre a convolução:

t = ∫ 0 t e - ( t - τ ) 2 3 3 e 1 2 τ sen ⁡ 3 2 t d τ

t = 2 3 3 e - t ∫ 0 t e 3 2 τ sen ⁡ 3 2 τ d τ

t = 3 3 e 1 2 t sen ⁡ 3 2 t - 1 3 e 1 2 t cos ⁡ 3 2 t + 1 3 e - t

Obtemos a resposta do item (a).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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