Enunciado

Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico.

f x , y = 2 x + 4 x 2 - y 2 + 2 x y 2 - x 4 - y 4

Passo 1

Show de bola, galera....Vamos às contas...

Basicamente precisaremos calcular os seguintes valores: f x , f y , f x x , f x y   e   f y y . E aí, meus amigos, não tem mistério! Depois precisaremos calcular os pontos críticos da função ao fazer f x = 0   e   f y = 0 . Na sequência, usaremos o Teste da Derivada Segunda ao calcularmos D = f x x f x y f y x f y y e avaliarmos o seu sinal juntamente com o sinal de f x x .

Vamos lá?

Passo 2

Calculemos os pontos críticos de f ( x , y ) da seguinte forma:

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0   ∴   2 + 8 x + 2 y 2 - 4 x 3 = 0 - 2 y + 4 x y - 4 y 3 = 0     ⇒ P o n t o s   c r í t i c o s ⏞ M é t o d o   d e   N e w t o n - 1.267 ,   0 - 0.25 9 ,   0 1.52 6 ,   0 1.62 9 ,   - 1.063 1.62 9 ,   1.063

Passo 3

Calculemos o sinal de D = f x x f x y f y x f y y = 8 - 12 x 2 4 y 4 y - 2 + 4 x - 12 y 2 e de f x x para os respectivos pontos críticos:

– Para x c , y c = - 1 . 267 ,   0 :

D = 8 - 12 x 2 4 y 4 y - 2 + 4 x - 12 y 2 - 1.267 ,   0 = - 11.26 0 0 - 7.0 7 = 79.62 > 0

f x x - 1.267 ,   0 = - 11.26 < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , x c , y c = - 1.267 ,   0  é um ponto de  máximo  local .

– Para x c , y c = - 0 . 259 ,   0 :

D = 8 - 12 x 2 4 y 4 y - 2 + 4 x - 12 y 2 - 0.25 9 ,   0 = 7.20 0 0 - 3.03 = - 21.84 < 0

Como D < 0 , x c , y c = - 0.25 9 ,   0  é um ponto de sela .

– Para x c , y c = 1 . 526 ,   0 :

D = 8 - 12 x 2 4 y 4 y - 2 + 4 x - 12 y 2 1.52 6 ,   0 = - 19.93 0 0 4.1 = - 81.77 < 0

f x x 1.52 6 ,   0 = 13.58 > 0

Como D < 0 , x c , y c = 1.52 6 ,   0  é um ponto de  sela .

– Para x c , y c = 1 . 629 ,   - 1.063 :

D = 8 - 12 x 2 4 y 4 y - 2 + 4 x - 12 y 2 1.62 9 ,   - 1.063 = - 23.84 4.25 4.25 - 9.03 = 197.2 7 > 0

f x x 1.62 9 ,   - 1.063 = - 23.84 < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , x c , y c = 1.62 9 ,   - 1.063  é um ponto de m áx imo local .

– Para x c , y c = 1 . 629 ,   1.063 :

D = 8 - 12 x 2 4 y 4 y - 2 + 4 x - 12 y 2 1.62 9 ,   1.063 = - 23.84 - 4.25 - 4.25 - 9.03 = 197.2 7 > 0

f x x 1.62 9 ,   1.063 = - 23.84 < 0

Como D > 0 e f x x < 0 , x c , y c = 1.62 9 ,   1.063  é um ponto de m áx imo local .

Passo 4

Show de bola, galera. Agora nós iremos apresentar o gráfico da função, só pra ver se o que calculamos está coerente.

Resposta

- 1.267 ,   0   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l - 0.25 9 ,   0   é   u m   p o n t o   d e   s e l a 1.52 6 ,   0   é   u m   p o n t o   d e   s e l a 1.62 9 ,   - 1.063   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l 1.62 9 ,   1.063   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l

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