Enunciado

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto.

f x , y = x x + y             ( 2,1 )

Passo 1

Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.

Basicamente precisamos avaliar se as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas num dado ponto.

Então vamos lá....Para o nosso caso, temos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x x + y = y x + y 2 →       N o   p o n t o   2,1       ∂ f ∂ x 2,1 = 1 9

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x x + y = - x x + y 2 →       N o   p o n t o   2,1       ∂ f ∂ y 2,1 = - 2 9

Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse ( 2,1 ) . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para x ≠ y . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto 2,1 .

Passo 2

Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.

Para calcularmos a linearização ao redor do ponto 2,1 , basta fazer:

L x , y = f 2,1 ⏟ 2 / 3 + ∂ f ∂ x 2,1 ⏟ 1 / 9 ∙ x - 2 + ∂ f ∂ y 2,1 ⏟ - 2 / 9 ∙ y - 1

L x , y = 2 3 + x - 2 9 - 2 y - 1 9 ∴ L x , y = x - 2 y + 6 9

Resposta

L x , y = x - 2 y + 6 9

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