Enunciado

Suponha f contínua no intervalo I e que f admita neste intervalo uma única raiz a . Suponha, ainda, que existe x 0 em I , com x 0 > a , tal que f x 0 > 0 . Prove que, para todo x em I , com x > a , f x > 0 .

Passo 1

Vamos dividir o domínio da função em duas partes, temos x < a e x ≥ a e estudar apenas a segunda parte.

Para x = a , temos f x = 0 , e existe e   f x 0 > 0 . Vamos supor (por absurdo), um valor x 1 que seja maior que a tal que f x 1 < 0 .

Passo 2

Temos, para x 1 < x 0 ou   x 1 > x 0 , com f x 0 > 0 e f x 1 < 0 , já que f é contínua, que pelo teorema do valor intermediário que existe c tal que f c = 0 . Nesse caso, c seria uma raiz, o que é impossível já que a é a única raiz de f . Logo, não existe nenhum x 1 tal que f x 1 ≤ 0 .

Consequentemente, todo valor de x > a em I implica em f x > 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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