Enunciado

Expresse a integral ∭ E f x , y , z d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o solido limitado pelas superfícies dada.

x 2 + z 2 = 4 ,   y = 0 , y = 6

Passo 1

Faala, galera!

Nessa questão precisamos expressar uma integral de seis formas diferentes!

Mas... que formas são essas?

Lembra que uma integral tripla a gente integra sempre de dentro pra fora, seguindo a ordem dos diferenciais:

∭ f x , y , z d x d y d z

Essa ordem pode ser feita de seis formas diferentes! Isso tem a ver com a permutação desses três elementos, que da 6 , mas não se preocupa que não vamos precisar usar análise combinatória aqui não haha

O que a gente vai precisar é do conceito de regiões do tipo 1 , 2 e 3 :

  1. Região do tipo 1 é quando o z está entre duas funções de x , y e x , y ∈ D , onde D é a projeção da região no plano x y .
  2. Uma integral sobre uma região do tipo 1 é calculada assim:

    ∭ E f x , y , z d V = ∬ D ∫ u 1 x , y u 2 x , y f x , y , z d z d A

    Sendo que esse d A pode ser d x d y ou d y d x .

  3. Região do tipo 2 é quando o x está entre duas funções de y , z e y , z ∈ D , onde D é a projeção da região no plano y z .
  4. A integral fica:

    ∭ E f x , y , z d V = ∬ D ∫ u 1 y , z u 2 y , z f x , y , z d x d A

    E o d A é d y d z ou d z d y

  5. Região do tipo 3 é quando o y está entre duas funções de x , z e x , z ∈ D , onde D é a projeção da região no plano x z .

Nesse caso, a integral é:

∭ E f x , y , z d V = ∬ D ∫ u 1 x , z u 2 x , z f x , y , z d y d A

Com o d A sendo d x d z ou d z d x

Pra cada um desses tipos, a gente consegue escrever a integral de dois modos diferentes, totalizando seis!

Então vamos descrever nossa região como cada um desses tipos, e assim conseguimos determinar os seis jeitos de escrever a integral!

Uma observação que pode facilitar nossa vida:

Quando a gente tem uma integral múltipla, existe uma regrinha pra ordem das variáveis. Se os limites de integração de uma variável dependerem da outra, a variável que depende tem que estar mais pra dentro.

Sem ferir essa regra, a gente pode mudar a ordem das variáveis a vontade!

Parece muita coisa, mas vamos com calma que vai sair!

Passo 2

Primeiro, vamos descrever E como uma região do tipo 1 .

Vamos começar desenhando nosso sólido, que é um cilindro entre dois planos:

x 2 + z 2 = 4

y = 0

y = 6

Pra descrever esse sólido como uma região do tipo 1 , a gente precisa isolar o z na equação da superfície do cilindro:

x 2 + z 2 = 1

z 2 = 1 - x 2

z = 1 - x 2 z = - 1 - x 2

Essas duas equações representam a parte de cima ( z ≥ 0 ) e de baixo ( z ≤ 0 ) da superfície do cilindro. Como nosso sólido está entre essas duas partes da superfície:

- 1 - x 2 ≤ z ≤ 1 - x 2

Agora vamos olhar a projeção no plano x y :

Como é um retângulo, temos:

- 2 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 6

Então a primeira forma da integral fica:

∭ E f x , y , z d V = ∫ - 2 2 ∫ 0 6 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 f x , y , z d z d y d x

Passo 3

Agora vamos perceber uma coisa importante.

Nessa integral, a única dependência dos limites das variáveis é que os de z dependem de x .

Então só precisamos nos preocupar com deixar a integral de z antes da de x . Com isso, conseguimos mais duas formas da integral:

Trocando x e y :

∭ E f x , y , z d V = ∫ 0 6 ∫ - 2 2 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 f x , y , z d z d x d y

Ou trocando y   e z :

∭ E f x , y , z d V = ∫ - 2 2 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 6 f x , y , z d y d z d x

Passo 4

Só faltam três integrais!

Pra achar, vamos descrever nosso sólido agora como uma região do tipo 2 :

Isolando o x na equação do cilindro:

x 2 + z 2 = 1

x 2 = 1 - z 2

x = 1 - z 2 x = - 1 - z 2

De forma equivalente com o tipo 1 , essas duas equações são as partes da superfície para x ≥ 0 e x ≤ 0 . Como o sólido está entre as duas:

- 1 - z 2 ≤ x ≤ 1 - z 2

E a projeção no plano y z :

Temos um retângulo com:

- 2 ≤ z ≤ 2

0 ≤ y ≤ 6

Então:

∭ E f x , y , z d V = ∫ - 2 2 ∫ 0 6 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 f x , y , z d x d y d z

Passo 5

Da mesma forma que fizemos no passo 3, vamos trocar as variáveis de lugar pra achar as últimas duas integrais.

Só precisamos tomar cuidado pra deixar a integral de x antes de z :

Trocando y com z :

∭ E f x , y , z d V = ∫ 0 6 ∫ - 2 2 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 f x , y , z d x d z d y

Trocando x com y : ∭ E f x , y , z d V = ∫ - 2 2 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 ∫ 0 6 f x , y , z d y d x d z

Resposta

∭ E f x , y , z d V =

= ∫ - 2 2 ∫ 0 6 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 f x , y , z d z d y d x =

= ∫ 0 6 ∫ - 2 2 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 f x , y , z d z d x d y =

= ∫ - 2 2 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 ∫ 0 6 f x , y , z d y d z d x =

= ∫ - 2 2 ∫ 0 6 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 f x , y , z d x d y d z =

= ∫ 0 6 ∫ - 2 2 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 f x , y , z d x d z d y =

= ∫ - 2 2 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 ∫ 0 6 f x , y , z d y d x d z

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Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. y 2 + z 2 = 9 ,x = - 2 ,x = 2
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
A figura mostra a região de integração da integral ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x f x , y , zd y d z d x Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens.
Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada.36. ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y f x , y , zd z d y d x
Expresse a integral ∭ E f x , y , zd V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. x = 2 ,y = 2 ,z = 0 ,x + y - 2 z = 2