Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ x 1 6 x y z   d z   d x   d y

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, pra resolver essas integrais duplas devemos nos atentar para a ordem de integração. Para esse caso como temos ' d z   d x   d y ' vamos integrar primeiro em   z depois em x e por fim em y , além disso, quando integrarmos em uma variável vamos considerar a outra como constante. Como assim?

Se liguem, se estivermos integrando em d x ( n a   v a r i á v e l   x ) vamos considerar as outras variáveis, no caso z e y , como constantes e poderemos calcular de igual maneira como fazíamos com uma integral simples.

Passo 2

Pois bem, tomemos a integral a ser resolvida que é

∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ x 1 6 x y z   d z   d x   d y

E vamos resolvendo como se fossem integrais simples de ‘dentro pra fora’. Sendo assim, vamos encontrar

∫ x 1 6 x y z   d z = 6 x y z 2 2 x 1 = 3 x y - 3 x 3 y

Agora, ficaremos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 1 ∫ 0 y 3 x y - 3 x 3 y   d x   d y

Procedendo de igual forma com a integral mais interna vamos ter

∫ 0 y 3 x y - 3 x 3 y   d x = 3 x 2 y 2 - 3 x 4 y 4 0 y = 3 y 3 2 - 3 y 5 4

Por fim, teremos a integral simples a ser resolvida

∫ 0 1 3 y 3 2 - 3 y 5 4   d y = 3 y 4 8 - 3 y 6 24 0 1 = 3 8 - 1 8 = 1 4

Pronto, tá resolvida nossa questão sem muitos problemas.

Resposta

1 4

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