Enunciado

Expresse o limite como uma integral definida no intervalo.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ x i x i Δ x ,                     [ π ,   2 π ]

Passo 1

E aí, beleza?

Nessa questão, temos que expressar o limite do somatório

∑ i = 1 n cos ⁡ x i x i ∆ x

no intervalo [ π ,   2 π ] , como sendo uma integral definida. Mas como faremos isso 🤨?

Primeiro, vamos relembrar da definição de integral definida como o limite de uma soma de Riemann. Dados a ,   b e uma função f ( x ) definida no intervalo [ a , b ] , temos que

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x ,

com Δ x = b - a n e n uma quantidade de divisões do intervalo a , b , sempre que o limite existe.

Reparou que o limite no lado direito dessa igualdade se parece muito com o limite do enunciado?

Pois é! Então, para escrevermos o somatório dado no enunciado como uma integral definida

∫ a b f x   d x ,

só precisamos encontrar quem é a função f x . Os valores de a e b nós já temos, já que a integral precisa ser no intervalo π ,   2 π , né?

Bora resolver essa questão? 😎

Passo 2

Olha como é tranquilo encontrar a função f x .

Olhando bem para o somatório do enunciado, ela já está dada nele. Se considerarmos que

f x = cos ⁡ x x ,

então vamos ter

∫ π 2 π f x d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ x i x i ∆ x .

Dessa forma, a resposta da questão é:

∫ π 2 π cos ⁡ x x d x .

Tranquilinho, né?

Resposta

∫ π 2 π cos ⁡ x x d x .

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