Enunciado

Seja g x = ∫ 0 x f t   d t onde f é a função cujo gráfico é mostrado.

(a) Calcule g x para x = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   e   6 .

(b) Estime g 7 .

(c) Onde g tem um valor máximo? Onde possui um valor mínimo?

(d) Faça um esboço do gráfico de g .

Passo 1

Item a:

Se g x = ∫ 0 x f t   d t , então:

Para x = 0 , temos:

g 0 = ∫ 0 0 f t   d t = 0

Para x = 1 , temos:

g 1 = ∫ 0 1 f t   d t = 1 2 1 1 = 1 2

Para x = 2 , temos:

g 2 = ∫ 0 2 f t   d t = ∫ 0 1 f t   d t + ∫ 1 2 f t   d t

Se a curva é negativa em certo intervalo, a integral é negativa.

g 2 = 1 2 - 1 2 = 0

Para x = 3 , temos:

g 3 = ∫ 0 3 f t   d t = ∫ 0 2 f t   d t + ∫ 2 3 f t   d t

g 3 = 0 - 1 2 = - 1 2

Para x = 4 , temos:

g 4 = ∫ 0 4 f t   d t = ∫ 0 3 f t   d t + ∫ 3 4 f t   d t

g 4 = - 1 2 + 1 2 = 0

Para x = 5 , temos:

g 5 = ∫ 0 5 f t   d t = ∫ 0 4 f t   d t + ∫ 4 5 f t   d t

g 5 = 0 + 3 2 = 3 2

Para x = 6 , temos:

g 6 = ∫ 0 6 f t   d t = ∫ 0 5 f t   d t + ∫ 5 6 f t   d t

g 6 = 3 2 + 5 2 = 8 2 = 4

Passo 2

Item b:

Para x = 7 temos:

g 7 = ∫ 0 7 f t   d t = ∫ 0 6 f t   d t + ∫ 6 7 f t   d t

g 7 = 4 + ∫ 6 7 f t   d t

Devemos estimar então, a área do gráfico entre x = 6 e x = 7 :

Podemos ver que a área da integral ∫ 6 7 f t   d t é maior que o triangulo de base 1 e altura 3 bem como é menor que o retângulo de mesma base e mesma altura, logo:

1,5 < ∫ 6 7 f t   d t < 3

Podemos estimar então, como a média do intervalo:

∫ 6 7 f t   d t ≈ 3 + 1,5 2 = 2.25

Então: o valor estimado de g 7 é

g 7 = 4 + ∫ 6 7 f t   d t ≈ 4 + 2,25 = 6,25

g 7 ≈ 6,25

Passo 3

Item c:

Pelos valores calculados em (a) e (b), podemos ver que g x tem máximo em x = 7 e mínimo em x = 3 .

Passo 4

Item d:

O gráfico de g é esboçado por:

Resposta

(a) g 0 = 0, g 1 = 1 2 , g 2 = 0 , g 3 - 1 2 , g 4 = 0 , g 5 = 3 2 , g 6 = 4 .

(b) g 7 ≈ 6,25

(c) g x tem máximo em x = 7 e mínimo em x = 3 .

(d)

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