Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Abaixo do plano x - 2 y + z = 1 e acima da região limitada por x + y = 1 e x 2 + y = 1 .

Passo 1

O volume de um sólido qualquer limitado acima por uma superfície z = F x , y e abaixo pelo plano x y é expressa através da seguinte integral dupla:

∬ D F x , y d A

Em que D é a região limitada no plano x y em que devemos integrar a função. Portanto, precisamos primeiro compreender como é a nossa região, se ela é do tipo I ou do tipo II. Para isto, começaremos esboçando-a.

Passo 2

Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,

As duas curvas se intersectam nos pontos em que:

y c u r v a   1 = y c u r v a   2

1 - x = 1 - x 2

x 2 - x = 0

x ⋅ x - 1 = 0

Elas se intersectam nos pontos A = ( 0,1 ) e B = 1,0 .

Em relação ao tipo da região, podemos escrevê-la tanto como região do tipo I quanto do tipo II. Portanto, vamos escolher arbitrariamente como sendo uma região do tipo I.

Passo 3

Agora podemos começar a escrever a nossa região. Escrevendo-a como uma região do tipo I, temos:

1 - x ≤ y ≤ 1 - x 2

Já os limites laterais são 0 ≤ x ≤ 1 . Portanto, temos a seguinte integral:

∬ D F x , y d A = ∫ 0 1 ∫ 1 - x 1 - x 2 1 - x + 2 y d y d x

Observe que a função F x , y foi obtida ao isolarmos a variável z da equação do plano.

Resolvendo-a, temos:

∫ 0 1 ∫ 1 - x 1 - x 2 1 - x + 2 y d y d x = ∫ 0 1 ( 1 - x ) y + y 2 1 - x 1 - x 2 d x

∫ 0 1 1 - x ⋅ 1 - x 2 + 1 - x 2 2 - 1 - x ⋅ 1 - x + 1 - x 2 d x

∫ 0 1 2 - 3 x 2 - x + x 3 + x 4 - 2 - 4 x + 2 x 2 d x

∫ 0 1 x 4 + x 3 - 5 x 2 + 3 x d x = x 5 5 + x 4 4 - 5 x 3 3 + 3 x 2 2 0 1

1 5 + 1 4 - 5 3 + 3 2 = 17 60

Resposta

V o l u m e = ∫ 0 1 ∫ 1 - x 1 - x 2 1 - x + 2 y d y d x = 17 60

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Demonstre a propriedade 11.
Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ Q e - ( x 2 + y 2 )d A , onde Q é o quarto de círculo com centro na origem e raio 1 2 no primeiro quadrante.
Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral. ∬ D x 2d A
Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = x y , D é o triângulo com vértices 0,0 , ( 1,0 ) e ( 1,3 ) .
Encontre o valor médio de f na região D . f x , y = xs e ny , D é delimitado pelas curvas y = 0 , y = x 2 e x = 1 .