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Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral.

∬ D y   d A

Passo 1

A questão pede para escrevermos a integral sobre a região dada e em seguida calculá-la.

Como é muito difícil inverter a equação x = y - y 3 para escrever y como função de x , teremos que fazer a integração na ordem d A = d x   d y . Para isso, vamos precisar quebrar a integral em duas partes, uma com y ≤ 0 e outra com y ≥ 0 . Para a integral acima do eixo x , temos que x vai da curva y = x + 1 2 até x = y - y 3 . Invertendo a primeira equação: x = - 1 + y . Assim,

∫ 0 1 ∫ - 1 + y y - y 3 y   d x   d y

Já para a região abaixo do eixo x , x varia de x = - 1 até x = y - y 3 :

∫ - 1 0 ∫ - 1 y - y 3 y   d x   d y

Assim,

∬ D y   d A = ∫ 0 1 ∫ - 1 + y y - y 3 y   d x   d y + ∫ - 1 0 ∫ - 1 y - y 3 y   d x   d y

Passo 2

Fazendo a primeira integral em y :

∬ D y   d A = ∫ 0 1 y   y - y 3 + 1 - y   d y + ∫ - 1 0 y   y - y 3 + 1   d y

Note que podemos juntar as partes dos integrandos que são iguais em uma integral só:

∬ D y   d A = ∫ - 1 1 y 2 - y 4 + y   d y - ∫ 0 1 y 3 2   d y

Como y é ímpar e y 2 e y 4 são pares, temos que:

∬ D y   d A = 2 ∫ 0 1 y 2 - y 4   d y - ∫ 0 1 y 3 2   d y = ∫ 0 1 2 y 2 - 2 y 4 - y 3 2   d y

Portanto,

∬ D y   d A = 2 y 3 3 - 2 y 5 5 - 2 5 y 5 2 0 1 = 2 3 - 2 5 - 2 5 = - 2 15

Resposta

- 2 15

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