Enunciado

Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua em um dado número a .

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos deu o seguinte limite:

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3

Queremos mostrar que a função dentro do limite f x = 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3 é contínua em um dado número a = 2 .

Para isso, precisaremos utilizar algumas propriedades dos limites:

  1. Propriedade da soma:
  2. lim x → a ⁡ f x + g x = lim x → a ⁡ f x + lim x → a ⁡ g x

  3. Propriedade da subtração:
  4. lim x → a ⁡ f x - g x = lim x → a ⁡ f x - lim x → a ⁡ g x

  5. Propriedade da multiplicação por uma constante k :
  6. lim x → a ⁡ k * f x = k * lim x → a ⁡ f x

  7. Propriedade do limite de uma raiz:

lim x → a ⁡ f x n = lim x → a ⁡ f x n

Em seguida substituiremos o valor de a na função e iremos comparar com o valor encontrado no limite.

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a propriedade da soma e da subtração, temos:

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3 = lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - lim x → 2 ⁡ 5 x + lim x → 2 ⁡ ( x 2 + 4 3 )

Aplicando a propriedade da multiplicação por uma constante, temos:

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3 = 3 lim x → 2 ⁡ x 4 - 5 lim x → 2 ⁡ x + lim x → 2 ⁡ ( x 2 + 4 3 )

Aplicando a propriedade do limite de uma raiz, temos:

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3 = 3 lim x → 2 ⁡ x 4 - 5 lim x → 2 ⁡ x + lim x → 2 ⁡ ( x 2 + 4 ) 3

Aplicando novamente o limite da soma, obtemos:

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3 = 3 lim x → 2 ⁡ x 4 - 5 lim x → 2 ⁡ x + lim x → 2 ⁡ ( x 2 ) + lim x → 2 ⁡ ( 4 ) 3

Passo 3

Agora podemos substiuir o valor de x na expressão, com isso, temos:

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3 = 3 2 4 - 5 2 + 2 2 + 4 3

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3 = 48 - 10 + 2

lim x → 2 ⁡ 3 x 4 - 5 x + x 2 + 4 3 = 40

Passo 4

Agora iremos calcular o valor da função no ponto a = 2 :

f 2 = 3 2 4 - 5 2 + 2 2 + 4 3 = 48 - 10 + 2 = 40

Como o valor do limite no ponto a é igual ao valor da função calculada em a , então f é contínua em a .

Resposta

f   é contínua em   a = 2

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