Enunciado

Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I - I V ). Justifique suas escolhas.

f x ,   y = x 2 + y 2

Passo 1

Galera, vamos lembrar do seguinte:

∇ f = f x x ,   y   i + f y x ,   y   j

Então, é só calcular as derivadas parciais de f = x 2 + y 2 :

∂ f ∂ x = 2 x

    ∂ f ∂ y = 2 y

Ou seja,

∇ f = 2 x   i + 2 y   j = 2 x   i + y   j

Passo 2

Show! O campo vetorial gradiente obtido no passo anterior mostra que os vetores vão apontar pra longe da origem, com magnitude que vai aumenta à medida que a distância do ponto até a origem aumenta.

Então, a nossa única possibilidade é:

Resposta

I I I

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Esboce o campo vetorial F, desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 F x , y , z = z j
Esboce o campo vetorial F, desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 F x , y , z = y j
Esboce o campo vetorial F, desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 F x , y , z = j - i
Case as funções com os desenhos de seus campos de vetor gradiente (rotulados de I-IV). Dê razões para suas escolhas. f x , y = x 2 + y 2
Determine o campo do vetor gradiente ∇ f de f e o desenhe. f x , y = x y - 2 x