Enunciado

Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disso.

f t = t 3 s e t < 0 t s e 0 ≤ t

a ) lim t → 0 + ⁡ f t

b ) lim t → 0 - ⁡ f t

c ) lim t → 0 ⁡ f t

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de f t . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa f t

O enunciado disse que

f t = t 3 s e t < 0 t s e 0 ≤ t

Essa função é cheio de raiz e tudo mais, isso fica meio chatinho de ver como fica né?

Vamos tentar olhar cada intervalo separadamente

Primeiro, t < 0

y = t 3

t = y 3

Então, Podemos ver esse gráfico como o de uma função de 3 º gau em y . E desenhar essa função para t < 0 , que vai ser também quando y < 0 . Vamos fazer essa parte para ver como fica

Agora, t ≥ 0

y = t

t = y 2

Então, Podemos ver esse gráfico como o de uma função de 2 º gau em y . E desenhar essa função para t ≥ 0 . Vamos fazer essa parte para ver como fica

Juntando os dois

Aqui tem um detalhe importante, repara que eles se encontram direitinho em x = 0 , então devemos colocar uma bola fechada ali

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim t → 0 + ⁡ f t

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando t se aproxima de 0 pela direita. Que é se aproximar de 0 por valores maiores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela direita, a nossa função se aproxima de 0 .

lim t → 0 + ⁡ f t = 0

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim t → 0 - ⁡ f t

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando t se aproxima de 0 pela esquerda. Que é se aproximar de 0 por valores menores que 0 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 0 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 0 .

lim t → 0 - ⁡ f t = 0

Passo 4

Letra c )

lim t → 0 ⁡ f t

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 0 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 0 e 0 , respectivamente.

Eles são iguais, então

lim t → 0 ⁡ f t = 0

Resposta

a )

lim t → 0 + ⁡ f t = 0

b )

lim t → 0 - ⁡ f t = 0

c )

lim t → 0 ⁡ f t = 0

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