Enunciado

Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disso.

f x = x + 1 s e x < - 1 x 2 s e - 1 ≤ x ≤ 1 2 - x s e x > 1

a ) lim x → - 1 - ⁡ f x

b ) lim x → - 1 + ⁡ f x

c ) lim x → - 1 ⁡ f x

d ) lim x → 1 - ⁡ f x

e ) lim x → 1 + ⁡ f x

f ) lim x → 1 ⁡ f x

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de f x . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa f x

O enunciado disse que

f x = x + 1 s e x < - 1 x 2 s e - 1 ≤ x ≤ 1 2 - x s e x > 1

Então temos uma reta até x = - 1 , depois uma função de 2 º grau de x = - 1 até x = 1 , terminando com outra reta a partir de x = 1

Para fazer esse gráfico, devemos fazer a reta x + 1 até x = - 1 , e colocar aquela bola aberta no final dela.

Depois, fazemos a parábola x 2 de x = - 1 e x = 1 , colocando aquela bola fechada no inicio e final dela.

Depois, fazemos a reta 2 - x a partir de x = 1 , aqui não precisamos colocar a bola aberta porque quando x = 1 , 2 - x vai possuir o mesmo valor que x 2 em x = 1 , então eles coincidem.

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → - 1 - ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de - 1 pela esquerda. Que é se aproximar de - 1 por valores menores que - 1 .

Olhando o gráfico, chegando perto de - 1 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 0 .

Mesmo que ela de fato seja - 1 em x = 1 , a reta azul chega muuuuuito perto de 0 na verdade.

lim x → - 1 - ⁡ f x = 0

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim x → - 1 + ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de - 1 pela direita. Que é se aproximar de - 1 por valores maiores que - 1 .

Olhando o gráfico, chegando perto de - 1 pela direita, a nossa função se aproxima de 1 .

lim x → - 1 + ⁡ f x = 1

Passo 4

Letra c )

lim x → - 1 ⁡ f x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em - 1 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 0 e 1 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe.

Passo 5

Letra d )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → 1 - ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda. Que é se aproximar de 1 por valores menores que 1 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 1 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 1 .

lim x → 1 - ⁡ f x = 1

Passo 6

Letra e )

Agora o outro

lim x → 1 + ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 1 pela direita. Que é se aproximar de 1 por valores maiores que 1 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 1 pela direita, a nossa função se aproxima de 1 .

lim x → 1 + ⁡ f x = 1

Passo 7

Letra f )

lim x → 1 ⁡ f x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 1 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 1 e 1 , respectivamente.

Eles são iguais, então o nosso limite será

lim x → 1 ⁡ f x = 1

Resposta

a )

lim x → - 1 - ⁡ f x = 0

b )

lim x → - 1 + ⁡ f x = 1

c )

Não existe o limite

d )

lim x → 1 - ⁡ f x = 1

e )

lim x → 1 + ⁡ f x = 1

f )

lim x → 1 ⁡ f x = 1

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