Enunciado

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Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.

f ( x ) = x - 1 3 x , [ 0,9 ]

Passo 1

Essa é uma questão para testarmos a validade do Teorema de Rolle, que basicamente diz que: se

(i) a função for contínua num intervalo fechado [ a , b ] ;

(ii) ela for derivável no aberto ( a , b ) ;

(iii) f ( a ) = f ( b ) (ela ter os mesmos valores nos extremos do intervalo),

então deve existir um número c dentro do intervalo ( a , b ) onde a derivada se anula ( f ' ( c ) = 0 ) .

O que precisamos fazer é verificar que a função dada satisfaz as três hipóteses mencionadas acima e daí tentar encontrar os pontos em que a derivada da função se anula.

Passo 2

Sabemos que a raiz quadrada é uma função contínua em todo o seu domínio: como o intervalo está contido no domínio da raiz quadrada ( x ≥ 0 ), temos que a função é contínua no intervalo. Além disso, sabemos também que a raiz quadrada é derivável em todo seu domínio exceto em x = 0 . Porém, como só é necessário que a função seja derivável no interior do intervalo (não precisa ser nos extremos), vemos que a segunda hipóteses também é satisfeita.

Resta apenas verificar se a terceira é válida: f ( 0 ) = 0 e f ( 9 ) = 3 - 3 = 0 . Então, sim, o teorema de Rolle é válido!!!

Passo 3

Agora que já sabemos que o teorema é válido, vamos tentar achar os pontos que anulam a derivada. A derivada da função será

f ' ( x ) = 1 2 x - 1 3

Assim, forçando a derivada a ser zero:

1 2 x = 1 3 ⇒ x = 3 2 ⇒ x = 9 / 4

Note que 9 / 4 está no intervalo dado e podemos tomá-lo como c pedido.

Resposta

c = 9 / 4

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