Enunciado

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  1. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
  2. Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
  3. Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.

f x = x 2 - x - 12 x - 3 ; [ - 3 ,   4 ]

Passo 1

Vamos substituir alguns pontos do intervalo [ - 3 ,   4 ] na função f e observar seu comportamento a fim de auxiliar no esboço do gráfico da função.

→ x = - 3

f - 3 = ( - 3 ) 2 - ( - 3 ) - 12 - 3 - 3 = 9 + 3 - 12 - 6 = 0 - 6 = 0

→ x = 0

f 0 = ( 0 ) 2 - ( 0 ) - 12 ( 0 ) - 3 = - 12 - 3 = 4

→ x = 4

f 4 = ( 4 ) 2 - ( 4 ) - 12 ( 4 ) - 3 = 16 - 4 - 12 1 = 0 1 = 0

Observe que, como f é um quociente, é preciso garantir que seu denominador seja sempre diferente de zero. Assim:

x - 3 ≠ 0 ⇒

x ≠ 3

Como 3 ∈ [ - 3 ,   4 ] , temos que f não será contínua neste intervalo. Observe que a função f terá um comportamento assintótico a medida que x se aproxima de 3 , pois seu denominador aproximará de 0 enquanto seu numerador tenderá a - 6 .

Fazendo o esboço de f ( x ) no intervalo [ - 3 ,   4 ] temos:

Passo 2

Como vimos, a função f não está definida quando x = 3 . Como 3 ∈ - 3,4 , temos que f não será contínua neste intervalo. Logo, f também não será derivável em ( - 3 ,   4 ) , pois, para ser derivável, a função precisa ser contínua. Por outro lado, f - 3 = f 4 = 0 .

Resposta

Portanto, f só satisfaz uma das três condições do teorema de Rolle, logo não é possível aplicá-lo.

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