Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 1 / 2 \* sen^(-1)(3x)

Passo 1

Pessoal, para esboçar o gráfico desta função, nós precisamos ter uma ideia de como é o gráfico da função g x = sen - 1 ⁡ x = arcsen ⁡ x , e a partir dele nós vamos usar transformações até chegar no gráfico da função pedida.

Devemos lembrar que sen - 1 ⁡ x é a função inversa do sen ⁡ x e que seu domínio é x ∈ [ - 1,1 ] com imagem sendo o intervalo - π 2 , π 2 . Segue o gráfico de g .

Passo 2

A primeira transformação que faremos no gráfico elementar para se tornar o gráfico da f ( x ) é multiplicar x por 3   e ficar com h ( x ) = sen - 1 ⁡ 3 x . O que isso vai mudar no meu gráfico inicial?

Bom, quando multiplicamos o x por uma constante 1 > k = 3 , a interpretação geométrica é que o gráfico vai ser comprimido horizontalmente. Assim, o domínio vai mudar, pois, neste caso, devemos ter - 1 ≤ 3 x ≤ 1 , e dividindo tudo por 3 , temos

- 1 3 ≤ x ≤ 1 3

.

O gráfico será

O domínio é x ∈ - 1 3 , 1 3 com imagem sendo o intervalo - π 2 , π 2 .

Passo 3

Agora devemos perceber que f x = 1 2 sen - 1 ⁡ 3 x é h x = sen - 1 ⁡ 3 x dividida por 2 , isso indica que todos os valores de y em h serão divididos por dois, o que vai fazer o gráfico de h ( x ) ser comprimido verticalmente e alterar a sua imagem.

Sabemos que -   π 2 ≤ sen - 1 ⁡ 3 x ≤ π 2 , então multiplicando tudo por 1 2 , temos

- π 4 ≤ 1 2 sen - 1 ⁡ 3 x = f ( x ) ≤ π 4

Sendo assim, a imagem de f é – π 4 , π 4 e o domínio continua - 1 3 , 1 3 .

O gráfico vai ser

Resposta

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