Enunciado

Faça um esboço do gráfico da função f (x) = (1)/(2) sen^(- 1) 3 x

Passo 1

Pessoal, para esboçar o gráfico desta função, nós precisamos ter uma ideia de como é o gráfico da função g (x) = sen^(- 1) x = arcsen x , e a partir dele nós vamos usar transformações até chegar no gráfico da função pedida.

Devemos lembrar que sen^(- 1) x é a função inversa do sen x e que seu domínio é x in [ - 1,1 ] com imagem sendo o intervalo [- (pi)/(2) , (pi)/(2)] . Segue o gráfico de g .

Passo 2

A primeira transformação que faremos no gráfico elementar para se tornar o gráfico da f ( x ) é multiplicar x por 3 e ficar com h ( x ) = sen^(- 1) 3 x . O que isso vai mudar no meu gráfico inicial?

Bom, quando multiplicamos o x por uma constante 1 > k = 3 , a interpretação geométrica é que o gráfico vai ser comprimido horizontalmente. Assim, o domínio vai mudar, pois, neste caso, devemos ter - 1 <= 3 x <= 1 , e dividindo tudo por 3 , temos

- (1)/(3) <= x <= (1)/(3)

.

O gráfico será

O domínio é x in [- (1)/(3) , (1)/(3)] com imagem sendo o intervalo [- (pi)/(2) , (pi)/(2)] .

Passo 3

Agora devemos perceber que f (x) = (1)/(2) sen^(- 1) 3 x é h (x) = sen^(- 1) 3 x dividida por 2 , isso indica que todos os valores de y em h serão divididos por dois, o que vai fazer o gráfico de h ( x ) ser comprimido verticalmente e alterar a sua imagem.

Sabemos que - (pi)/(2) <= sen^(- 1) 3 x <= (pi)/(2) , então multiplicando tudo por (1)/(2) , temos

- (pi)/(4) <= (1)/(2) sen^(- 1) 3 x = f ( x ) <= (pi)/(4)

Sendo assim, a imagem de f é [– (pi)/(4) , (pi)/(4)] e o domínio continua [- (1)/(3) , (1)/(3)] .

O gráfico vai ser

Resposta

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