Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.9 - Ex. 29c
23. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
(c)
Sendo , então
Nós queremos a derivada de então podemos usar a derivação implicia para descobrir, derivando essa função:
A derivada da cossecante hiperbólica é menos acossecante hiperbólica vezes a cotangente hiperbólica:
Isolando a derivada de :
Podemos usar essa relação, o jeito de chegar nela está lá no Exercicio 13:
Então:
Aqui podemos fazer algumas observações, quando o valor da cossecante é sempre positivo e o valor da cotangente também, então se
Então o sinal dessa raiz é positivo.
Portanto o produto que temos no denominador da nossa equação é positivo.
Já no caso de , a cossecante vai ser negativa e a cotangente também será negativa, então
Então o sinal dessa raiz é negativo.
E o produto de dois termos negativos terá como resultado um termo positivo.
Então para todo que a gente escolha aquele produto é sempre positivo, portanto pdemos reescrever a expressão como sendo:
Como no inicio definimos que
e
então
Resposta
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