Enunciado

23. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.

(a) lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(b) lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(c) lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x

(d) lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x

(e) lim x → ∞ ⁡ sech ⁡ x

(f) lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x

(g) lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x

(h) lim x → 0 - ⁡ cotgh ⁡ x

(i) lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x

Passo 1

(b)

A gente sabe que a tangente hiperbólica é:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

E substituindo pela definição de seno e cosseno hiperbólico fica:

tgh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

Simplificando a divisão por 2:

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Aplicando o limite:

lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x = lim x → - ∞ ⁡ e x - e - x e x + e - x

Para simplificar essa expressão podemos multiplicar em cima e embaixo por e x :

lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x = lim x → - ∞ ⁡ e x - e - x e x + e - x ⋅ e x e x

lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x = lim x → - ∞ ⁡ e 2 x - 1 e 2 x + 1

Substituindo por menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x = e - 2 ∞ - 1 e - 2 ∞ + 1

lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x = 0 - 1 0 + 1

lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x = - 1

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x = - 1

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