Enunciado

Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ

Passo 1

A região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:

E = r , θ , z |   0 ≤ θ ≤ π 2 ,   0 ≤ r ≤ 2 ,   0 ≤ z ≤ 9 - r 2

Temos o esboço do sólido:

Aqui temos a representação do sólido da região delimitada do primeiro octante envolvido pelo cilíndro circular, delimitado por um parabolóide circular e delimitado abaixo pelo plano.

Passo 2

Vamos calcular a integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r z 0 9 - r 2 d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 9 r - r 3 d r d θ = ∫ 0 π 2   d θ ∫ 0 2 π 9 r - r 3 d r = θ 0 π 2 9 r 2 2 - r 4 4 0 2 = π 2 18 - 4 = 7 π

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ = 7 π

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Identifique a superfície cuja equação é dada. 2 r 2 + z 2 = 1
Identifique a superfície cuja equação é dada. z = 4 - r 2
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 1 , π ,e ) ( 1 , 3 π / 2 ,2 )
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. θ = π 4
Descreva em palavras a superfície cuja equação é dada. r = 5