Enunciado

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E x 2 d V , onde E é limitado pelo plano x z e pelos hemisférios y = 9 - x 2 - z 2 e y = 16 - x 2 - z 2 .

Passo 1

Vamos lembrar a forma das coordenadas esféricas:

∭ E f x , y , z d V = ∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ                 y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ                 z = ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Temos então que:

3 ≤ ρ ≤ 4

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ ϕ ≤ π

Pronto, agora é só substituir:

∭ E x 2 d V = ∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 3 4 ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 3 4 ρ 4 sen 3 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ ∫ 0 π sen 3 ⁡ ϕ d ϕ ∫ 3 4 ρ 4 d ρ d = ∫ 0 π 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∫ 0 π 1 4 3 sen ⁡ ϕ - sen ⁡ 3 ϕ d ϕ ∫ 3 4 ρ 4 d ρ d = 1 2 θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ 0 π 1 4 - 3 cos ⁡ ϕ + cos ⁡ 3 ϕ 3 0 π ρ 5 5 3 4 = 1 2 π + 1 2 sen ⁡ 2 π - 1 2 . 0 + 1 2 sen ⁡ 2.0 1 4 - 3 cos ⁡ π + cos ⁡ 3 π 3 - - 3 cos ⁡ 0 + cos ⁡ 3.0 3 4 5 5 - 3 5 5 = π 2 + 0 1 4 3 - 1 3 - - 3 + 1 3 781 5 = 781 π 10 1 4 3 - 1 3 + 3 - 1 3 = 1562 π 15

Resposta

∭ E x 2 d V = 1562 π 15

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Calcular ∭ T d V , onde T é a casca esférica delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = 9 e x 2 + y 2 + z 2 = 16
Calcular ∭ T d V , onde T é a região delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z = 0 e z = 3 3 a .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) . d V , onde T é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 e exterior ao cone z 2 = x 2 + y 2
Calcular ∭ T ( x ) . d V , onde T é a região limitada por x 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 9 .
Calcular as seguintes integrais: ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 ( e x 2 + y 2 + z 2 ) d z . d y . d x