Enunciado

Se y ' = 16 - x 2

  1. Em quais pontos, se houver, o gráfico de f tem um máximo local,um mínimo local ou um ponto de inflexão?
  2. Esboce a forma geral do gráfico.

Passo 1

Inicialmente considere y ' = f ' x . em seguida identificaremos se f ' ( x ) possui pontos críticos para isso faremos   f ' ( x ) = 0 , ou seja,

f ' x = 16 - x 2 = 0

⇒ 16 - x 2 = 0

⇒ x 2 = 16

⇒ x = ± 16

⇒ x = ± 4

Sendo assim temos dois candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 4 )     x = - 4   , f ' ( x ) assume valores negativos ( f ( x ) decresce). E para valores dentro do intervalo ( - 4,0 )     x = - 4     , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f ( x ) cresce). Logo, x = - 4 é um ponto de mínimo no intervalo de ( - ∞ , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 0 , 4 )     x = 4   , f ' ( x ) assume valores negativos ( f x decresce). E para valores dentro do intervalo ( 4 , + ∞ )     x = - 4     , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f ( x ) cresce). Logo, x = - 4 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0 , ∞ ) .

Passo 2

Determinaremos agora f ' ' ( x ) . Dessa forma , pela regra da diferença temos que

f ' ' x = - 2 x

Passo 3

Como já determinamos f ' ' ( x ) podemos verificar se ela possui pontos inflexão, para isso faremos f ' ' x = 0 , ou seja,

f ' ' x = - 2 x = 0 ⇒ x = 0

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 0 )     x = 0   , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 0 , + ∞ )     x = 0     , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). Logo, x = 0 é um ponto de inflexão no intervalo de - ∞ , + ∞ ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 4

Desejamos encontrar a foma geral do gráfico, porém, no enunciado só foi dado informações sobre a derivada de f ( x ) ou seja, f ' ( x ) = 16 - x 2 .

Precisamos encontrar uma forma de voltar a função original, e quem vai nos ajudar com isso será a integral, pois por definição a integral é um anti-derivada. Sendo assim,

∫   f ' ( x ) d x = ∫ 16 - x 2 d x = 16 x - x 3 3 + C

A constante C está sendo levada em consideração pois estamos com uma integral indefinida, porém como desejamos f ( x ) em sua forma original consideraremos C = 0 . Sendo assim,

f x = 16 x - x 3 3

Cuja forma geral do gráfico é,

Onde,

O ponto laranja corresponde ao ponto de inflexão x = 0

Os pontos verdes correspondem as raízes de f ( x )

Os pontos cinzas correspondem aos pontos de mínimo ( x = - 4 ) e de máximo ( x = 4 ).

Resposta

Item a.

f ( x ) possui um máximo local em x = 4 , um mínimo local em x = - 4 e uma mudança de concavidade em x = 0 .

Item b.

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