Enunciado

Se y ' = 4 x 2 - x 4

  1. Em quais pontos, se houver, o gráfico de f tem um máximo local,um mínimo local ou um ponto de inflexão?
  2. Esboce a forma geral do gráfico.

Passo 1

Inicialmente considere y ' = f ' x . em seguida identificaremos se f ' ( x ) possui pontos críticos para isso faremos   f ' ( x ) = 0 , ou seja,

f ' x = 4 x 2 - x 4 = 0 ⇒ x 2 4 - x 2 = 0

Note que x = 0 , e x = ± 2 a igualdade acima é satisfeita. Sendo assim, temos três candidatos à pontos críticos, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 2 )     x = - 2 ,   f ' ( x ) assume valores negativos ( f x   decresce). E para valores dentro do intervalo ( - 2,0 )     x = - 2   , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x   cresce). Logo, x = - 2 é um ponto de mínimo no intervalo de ( - ∞ , 0 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( - 2 , 0 )     x = 0 , f ' ( x ) assume valores positivos ( f x cresce). E para valores dentro do intervalo ( 0,2 )     x = 0 , f ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f ( x ) cresce). Logo, x = 0 não é nem um ponto de máximo nem um ponto de mínimo no intervalo de ( - 2,2 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 )     x = 2   , f ' ( x ) assume valores positivos ( f x   cresce). E para valores dentro do intervalo ( 2 , ∞ )     x = 2   , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x   decresce). Logo, x = 2 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0 , ∞ ) .

Passo 2

Determinaremos agora f ' ' ( x ) . Dessa forma , pela regra da diferença temos que

f ' ' x = 8 x - 4 x 3

Passo 3

Como já determinamos f ' ' ( x ) podemos verificar se ela possui pontos inflexão, para isso faremos f ' ' x = 0 , ou seja,

f ' ' x = 8 x - 4 x 3 = 0 ⇒ 4 x 2 - x 2 = 0

Note que x = 0 , e x = ± 2 a igualdade acima é satisfeita. Sendo assim, temos três candidatos a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades de cada um deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( - ∞ , - 2 )     x = - 2   , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo - 2 , 0   x = - 2   , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). Logo, x = - 2   é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , 0 ) ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo ( - 2 , 0 )     x = 0   , f ' ' ( x ) assume valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 )     x = 0   , f ' ' ( x ) irá assumir valores positivos ( f x tem concavidade para cima). Logo, x = 0 é um ponto de inflexão no intervalo de ( - 2 , 2 ) ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 )     x = 2   , f ' ' ( x ) assume valores positivos ( f x tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 2 , + ∞ )     x = 1 , f ' ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x tem concavidade para baixo). Logo, x = 2 é um ponto de inflexão no intervalo de ( 0 , + ∞ ) ,   ou seja, f ( x ) possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Passo 4

Desejamos encontrar a foma geral do gráfico, porém, no enunciado só foi dado informações sobre a derivada de f ( x ) ou seja, f ' ( x ) = 4 x 2 - x 4

Precisamos encontrar uma forma de voltar a função original, e quem vai nos ajudar com isso será a integral, pois por definição a integral é um anti-derivada. Sendo assim,

∫   f ' ( x ) d x = ∫ 4 x 2 - x 4 d x = 4 x 3 3 - x 5 5 + C

A constante C está sendo levada em consideração pois estamos com uma integral indefinida, porém como desejamos f ( x ) em sua forma original consideraremos C = 0 . Sendo assim,

f x = 4 x 3 3 - x 5 5

Cuja forma geral do gráfico é,

Onde,

Os pontos laranja correspondem aos pontos de inflexão x = - 2 , 0 e 2

Os pontinhos verdes correspondem as raízes de f ( x )

Os pontos cinza correspondem aos ponto de máximo( x = 2 ) e de mínimo em ( x = - 2 )

Resposta

Item a.

f ( x ) possui um máximo local em x = 2 um mínimo local x = - 2 em e mudanças de concavidade em x = - 2 , 0   e 2 .

Item b.

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