Enunciado

Faça o gráfico da função y = x 1 3 - x - 1 1 3 . Em seguida, use a primeira derivada da função para explicar o que você está vendo.

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) em seguida, manualmente ou com auxílio de algum software obteremos um gráfico parecido com o que está abaixo,

Passo 2

Agora, explicaremos o por que o gráfico ficou daquela forma.

Vejamos, inicialmente que o domínio de nossa função são todos os reais. E como não temos ninguém anulando o denominador, não há assíntota vertical.

Além disso, perceba que

lim x → ± ∞ ⁡   x 1 3 - x - 1 1 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos analisar outros fatos do gráfico: se há máximo, mínimo, etc. Precisaremos saber qual a cara de f ' x ,   ou seja,

Utilizando a regra da diferença e a regra da cadeia teremos

f ' x = 1 3 x -   2 3 - 1 3 x - 1 -   2 3

= 1 3 x -   2 3 - x - 1 -   2 3

Reescrevendo as potências teremos,

= 1 3 1 x   2 3 - 1 x - 1   2 3

= 1 3 x - 1   2 3 - x   2 3 x   1 3 x - 1   1 3

Sendo assim,

f ' ( x ) = 1 3 x - 1   2 3 - x   2 3 x   1 3 x - 1   2 3

Passo 4

Sabemos que através de f ' ( x ) podemos encontrar pontos críticos e isso irá nos ajudar a explicar o que está acontecendo com o gráfico de f ( x ) . Dessa maneira, para encontrar pontos críticos precisamos que f ' x = 0 ,isto é,

f ' x = 1 3   x - 1   2 3 - x   2 3 x   2 3 x - 1   2 3 = 0

Dividindo a igualdade por 3 temos

⇒ x - 1   2 3 - x   2 3 x   1 3 x - 1   2 3 = 0

Para que a fração seja igual a zero, precisamos que o numerador seja igual a zero, ou seja,

⇒ x - 1   2 3 - x   2 3 = 0

⇒ x - 1   2 3 = x   2 3

⇒ x - 1   2 3 3 = x   2 3 3

⇒ x - 1   2 3 3 = x   2 3 3

Pela propriedade de potência de potência

⇒ x - 1   2 3 . 3 = x   2 3 ⋅ 3

⇒ x - 1 2 = x 2

⇒ x 2 - 2 x + 1   = x 2

⇒ x 2 - 2 x + 1 - x 2   = 0

⇒ - 2 x + 1     = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, obteremos que a raízes do polinômio é x = 1 2 .

Além disso, a derivada é indefinida em x = 0   e x = 1

Sendo assim, temos três candidatos à pontos críticos. vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades deles.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 2 )   ,   f ' ( x ) assume valores positivos ( f x   cresce). E para valores dentro do intervalo ( 1 2 , 1 )       , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x   decresce). Logo, x = 1 2 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0,1   ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( 1,2 )     ,   f ' ( x ) assume valores negativos ( f x   decresce). E para valores dentro do intervalo ( 1 2 , 1 )       , f ' ( x ) irá assumir valores negativos ( f x   decresce). Logo, x = 1 não é um ponto de mínimo, nem máximo no intervalo de ( 1 2 , 2 ) .

Além disso, no intervalo ( - 1 2 , 0 ) f ' ( x ) assume valores positivos ( f x   cresce). E para valores dentro do intervalo ( 0 , 1 2 )   ,   f ' ( x ) assume valores positivos ( f x   cresce). Logo, x = 0 não é um ponto de mínimo, nem máximo no intervalo de ( - 1 2 , 1 2   )

Resposta

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