Enunciado

10 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela parábola y 2   =   4 x e pela reta y   =   x em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 4
  4. Da reta y = 4

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Observamos que na imagem que tanto para o eixo x, como para o eixo y, os limites de integração serão: a = 0   e   b = 4

Para calcular o volume usaremos o método da casca:

V =   ∫ a b 2 π r a i o ⋅ a l t u r a d y

Primeiramente se observarmos na imagem os pontos para o eixo x, são 4 e 0, estes será nosso limites de integração.

Primeiramente achar f y

y 2 = 4 x → 4 x = y 2 ⇒ x = y 2 4   e   x = y

Sendo:

r a i o = y     e   a l t u r a = y - y 2 4

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 0   e   b = 4 .

V = 2 π ∫ 0 4 y y - y 2 4   d y

V = 2 π ∫ 0 4 y 2 - y 3 4   d y

Resolvendo os limites de integração:

2 π y 3 3 - y 4 16 0 4

Subsituindo com os limites:

2 π 4 3 3 - 4 4 16 - 0 3 3 - 0 4 4

2 π 64 3 - 256 16

2 π 64 3 - 64 4

Resolvendo os colchetes:

2 π 256 - 192 12 = π 64 6 = 32 π 3   u . v .

Resposta

32 π 3   u . v .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y = - 1 da região acima do eixo x limitada pela reta 2 y = x + 3 e pelas curvas y 2 + x = 0 , y 2 - 4 x = 0 de x = - 1 a x = 1 .
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado y = x 2 ,y = 6 x - 2 x 2
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x x y = 1
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado y = x 4 ,y = 0 ,x = 2 eixo y
Considere s o solido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno no do eixo y . Explique por que é complicado usar fatias para encontrar o volume V de S. Esboce uma casca de aproximação