Enunciado

Resolva o problema de valor de contorno, se possível.

4 y ' ' - 4 y ' + y =

y 0 = 4 ,   y 2 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

4 k 2 A e k x - 4 A k e k x + A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

4 k 2 - 4 k + 1 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4.1 . 4 2.4

k = 4 ± 0 8 = 1 2 ∴ k 1 =   k 2 = 1 2

E a solução vai ser do tipo exponencial:

y x = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 0 = 4

y 2 = 0

A primeira condição de contorno nos diz que   y 0 = 4 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 0 = c 1 e 0 + c 2 0 e 0 = 4

1

c 1 = 4

A segunda condição de contorno é y 2 = 0 . Então, substituindo em y ( x ) temos:

y ( 2 ) = c 1 e + 2 c 2 e = 0

Mas sabemos que c 1 = 4 , certo? Então vamos substituir ali em cima:

4 e + 2 c 2 e = 0

2 e c 2 = - 4 e

c 2 = - 2

Show! Agora que temos os valores das duas constantes podemos substituir na solução tentativa e correr pro abraço! Saca só:

y x = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2

y x = 4 e x 2 - 2 x e x 2

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = 4 e x 2 - 2 x e x 2

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