Enunciado

(a) Faça o gráfico da função f x = e - x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 2 .

(b) Estime a área sob o gráfico de f usando quatro retângulos aproximantes e tomando como pontos amostrais (i) as extremidades direitas e (ii) os pontos médios. Em cada caso, esboce a curva e os retângulos.

(c) Aperfeiçoe suas estimativas da parte (b) usando oito retângulos.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Inicialmente iremos obter o gráfico da função por meio do GeoGebra.

Após isso, iremos utilizar de retângulos abaixo do gráfico para que possamos realizar uma aproximação da sua área.

Passo 2

  1. O gráfico:
  2. Para utilizarmos a aproximação pela extremidade direita, iremos criar nossos retângulos e iremos utilizar como x na função f ( x ) a extremidade direta do retângulo.
  3. Temos f x = e - x 2 e ∆ x = 2 - - 2 4 = 1 , logo:

    E a área é dada por A r = ∑ i = 1 4 f x i Δ x

    Onde f x i é a ‘altura’ do nosso retângulo e Δ x é a base.

    1. R 4 = 1 f - 1 + f 0 + f 1 + f 2 = e - 1 + 1 + e - 1 + e - 4 ≈ 1.754
    2. Esboçando o gráfico:

    3. Agora a situação do ponto médio, iremos utilizar como nosso x em f ( x ) o ponto médio entre os dois pontos que compõem os lados do nosso retângulo. M 4 = 1 f - 1,5 + f - 0,5 + f 0,5 + f 1,5

    M 4 = e - 2,25 + e - 0,25 + e 2,25 ≈ 1.768

    Esboçando o gráfico:

    Passo 3

  4. Aqui iremos apenas aumentar a quantidade de retângulos que temos, consequentemente iremos recalcular a base, Δ x desses triângulos. Temos f x = e - x 2 e ∆ x = 2 - - 2 8 = 1 2 , logo:
  1. R 8 = 1 2 f - 1,5 + f - 1 + f - 0,5 + f 0 + f 0,5 + f 1 + f ( 1,5 ) + f 2 = e - 2,25 e - 1 + e - 0,25 + 1 + e - 0,25   +   e - 1 + e - 2,25 + e - 4 ≈ 1.761
  2. Esboçando o gráfico:

  3. Esboçando o gráfico:

Por conta da simetria da figura, nós vemos que:

M 8 = 0,5 2 f 0,25 + f 0,75 + f 1,25 + f 1,75

M 8 = e - 0,0625 + e - 0,5625 + e - 1,5625 + e 3,0625 ≈ 1,766

Resposta

  1. i ≈ 1.754   i i ≈ 1.768
  2. i ≈ 1.761 i i ≈ 1,766
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Utilize a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob a curva y = x ³ ³ de 0 a 1 como um limite. A fórmula a seguir para a soma dos cubos dos primeiros n inteiros está demonstrada no Apêndice
(a) Expresse a área sob a curva y = x 5 de 0 até2 como um limite. (b) Use um sistema de computação algébrica para encontrar a soma em sua expressão da parte (a). (c) Calcule o limite da parte (a).
O gráfico de g é apresentado. Estime ∫ - 3 3 g x d x com seis subintervalos usando (a) extremidades direitas, (b) extremidades esquerdas e (c) pontos médios.
Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado n para aproximar a integral. Arredonde cada reposta para quatro casas decimais. ∫ 0 π sec ⁡ x 3 d x ,n = 6
É dado o gráfico de uma função f . Estime ∫ 0 8 f x d x usando quatro subintervalos com (a) extremidades direitas, (b) extremidades esquerdas e (c) pontos médios.