Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 14
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado e a superfície .
, é a parte do plano que está no primeiro octante, orientado para cima.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? A primeira coisa que vamos fazer é ver como é essa região. Saca só esse desenho:
Então, para calcular a região de fronteira são três curvas e . Então:
Vamos por partes?
- Para a curva : No plano a equação fica . Uma parametrização possível é:
- Para a curva : No plano a equação fica . Uma parametrização possível é:
- Para a curva : No plano a equação fica . Uma parametrização possível é:
O vetor é:
E a derivada
O campo vetorial nas novas variáveis de parametrização é:
E o produto escalar entre e é:
Agora é só integrar! Bora lá?
O vetor é:
E a derivada
O campo vetorial nas novas variáveis de parametrização é:
E o produto escalar entre e é:
Agora é só integrar! Bora lá?
Vamos pra última curva?? =D
O vetor é:
E a derivada
O campo vetorial nas novas variáveis de parametrização é:
E o produto escalar entre e é:
Agora é só integrar! Bora lá?
Ufa! Agora é só somar todos esses resultados!
Mas! Tudo isso pra dar zero no final! Kkkk Agora vamos a outra parte do teorema!
Passo 2
Para começar vamos calcular o rotacional de :
Passo 3
Agora vamos encontrar a função Como a região é a parte do plano do primeiro octante, então a função é:
E o vetor normal à superfície é:
Aplicando na função temos:
E o produto escalar entre e é:
Passo 4
Agora vamos ver a região de integração. Saca só no desenho:
No plano , temos a reta:
E os limites de integração vão ser:
E o diferencial de área vai ser:
Passo 5
Agora é só colocar na integral!
Aplicando nos limites temos:
Abrindo os produtos notáveis e agrupando os termos comuns teremos:
Aplicando os limites temos:
Eba! Encontramos o mesmo resultado do passo Sendo assim, verificamos o teorema =D