Enunciado

Um tanque contém 100 galões de água doce. Uma solução que contém 1 l b / g a l de fertilizante solúvel escoa para um tanque a uma taxa de 1   g a l / m i n , e a mistura é bombeada para fora do tanque a uma taxa de 3   g a l / m i n . Determine a quantidade máxima de fertilizantes no tanque e o tempo necessário para que ele atinja a capacidade máxima.

Passo 1

Vamos fazer o mesmo esquema da questão anterior.

Seja y ( t ) a quantidade de fertilizante no tanque no instante t .

A taxa em libra por minuto em que o fertilizante entra no tanque é:

1 l b g a l ∙ 1   g a l m i n = 1   l b / m i n

E o volume no tanque no instante t é dado por:

V t = 100   g a l + [   1   g a l / min ⁡ - 3   g a l / min ⁡   ]   t

V t = 100 - 2 t g a l

Nossa variação de fertilizante durante o tempo então é:

d y d t = 1 - 3 y 100 - 2 t

(O que entra menos o que sai)

Agora a gente vai resolver essa equação diferencial...

Passo 2

d y d t + 3 100 - 2 t y = 1

A gente fica com P t = 3 100 - 2 t   e Q t =   1

Integramos P ( t ) ...

∫ 3 100 - 2 t   d t =   - 3 ( ln ⁡ 100 - 2 t 2

Fazemos:

v t = e ∫ P t = e - 3 ( ln ⁡ 100 - 2 t 2 = 100 - 2 t - 3 2

Então...

y t = 1 100 - 2 t - 3 2   ∫ 100 - 2 t - 3 2   1 d t

y t =   100 - 2 t - 3 2 - 2   100 - 2 t - 1 2 - 2 + C

y t = 100 - 2 t + C 100 - 2 t 3 2

Como y 0 = 0 , substituímos para encontrar C ...

y 0 = 100 + C 100 3 2 = 0

C = - 100 - 1 2 =   - 1 10  

Substituímos o valor encontrado agora em y ( t ) :

y t = 100 - 2 t -   100 - 2 t 3 2 10

Passo 3

Para achar o tempo para a capacidade máxima, fazemos d y d t = 0 (máximo de função) então...

d y d t =   - 2 -   3 2 100 - 2 t 1 2 - 2 10 = 0

20 = 3 ( 100 - 2 t ) → 400 = 9 100 - 2 t → - 500 =   - 18   t

t ≅ 27,8   m i n

Que é o tempo necessário para que o tanque fique com a capacidade máxima.

Passo 4

E a quantidade máxima é dada pela quantidade de fertilizante nesse tempo em que o tanque chega a sua capacidade máxima, então:

y 27,8 =   100 - 2 27,8 -   100 - 2 27,8 3 2 10

y 27,8 ≅ 14,8   l b

Resposta

27,8   m i n e 14,8   l b .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada. y = c 1 x 2
Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada. y = c 1 e - x
Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada. y a = c 1 . x b ,aebc o n s t a n t e s
Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada. y = e c 1 . x
Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada. y 2 = c 1 . x ³ ³