Enunciado

Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50   m 2 de pasto. O peso médio de seus novilhos no mercado é de 900   k g . Estimativas do Departamento de Agricultura (EUA) indicam que o peso médio ficará reduzido em 22,5   k g para cada novilho que for acrescentado nos 50   m 2 de pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50   m 2 para que o peso médio deles seja o maior possível?

Passo 1

Então pessoal, inicialmente o que temos que fazer é definir quem são as variáveis do nosso problema, tudo jóia? Sendo assim, vamos adotar os seguintes termos:

x = número de novilhos por m 2 ;

w = peso médio dos novilhos no mercado;

T = peso total dos novilhos no mercado.

Note que a expressão de T deve possuir o seguinte formato:

T = x w

O problema está em encontrar w , pois assim como dito no enunciado, a cada novilho acrescentado no pasto o peso médio varia. De qualquer forma, vamos em busca dessa expressão!

Passo 2

De acordo com o enunciado o peso médio dos novilhos no mercado é 900   k g , certo? Show! O teto máximo de novilhos é 20 e o quanto acrescentamos de novilhos chamamos de x , logo:

w = 900 - 22,5 x - 20

Note que x - 20 nos dá quantos novilhos a mais foram colocados no pasto! Se substituirmos esse resultado na expressão de T , teremos:

T = x . 900 - 22,5 x - 20

T = 900 - 22,5 x + 450 x

T = 1350 x - 22,5 x 2

Opa, encontramos uma expressão para o peso total dos novilhos no mercado, assim como queríamos!

Passo 3

O enunciado pede a quantidade de novilhos necessária para maximizar o peso médio deles. Como estamos falando em ponto de máximo, vamos utilizar os conceitos de cálculo que aprendemos, saca só:

d T d x = 1350 - 45 x

Igualando a zero, teremos:

45 x = 1350

∴ x = 30   n o v i l h o s

Sendo assim, podemos concluir que 30   n o v i l h o s devem ser colocados nos 50   m 2 para que o peso médio deles seja o maior possível!

Resposta

x = 30   n o v i l h o s

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