Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = 3 x^(- 2) , f (1) = f (- 1) = 0

Passo 1

Queremos achar as funções f ( x ) tais que f^(' ') (x) = 3 x^(- 2) . Vamos fazer isso aplicando a antiderivada duas vezes, primeiro encontrando f ' ( x ) e depois f . Se temos uma potência de x diferente de x^(- 1) , a antiderivada é aplicada da seguinte forma:

g (x) = x^n => G (x) = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Passo 2

Temos f^(' ') (x) = 3 x^(- 2) , então aplicamos o método da antiderivação:

f^' (x) = 3 ((x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)) + C = (3 x^(- 1))/(- 1) + C = - 3 x^(- 1) + C

Passo 3

Agora temos x^(- 1) , e não podemos aplicar o mesmo método. A derivada de ln |x| é igual a 1 // x , então a antiderivada de x^(- 1) é ln |x| . O módulo é usado pois não existe logaritmo de número negativo. Temos então:

f^' (x) = - 3 x^(- 1) + C

=> f (x) = - 3 ln |x| + C x + D

Agora achamos os valores de C e D fazendo f (1) = 0 e F (- 1) = 0 :

f (1) = - 3 ln 1 + C + D = 0

=> C + D = 0 => D = - C

f (- 1) = - 3 ln |- 1| + C ( - 1 ) + D = 0

=> - 3 ln 1 - C - C = 0 => C = 0

=> D = 0

Então temos nossa função f :

f (x) = - 3 ln |x|

Resposta

f (x) = - 3 ln |x|

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