Enunciado

A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = 1 . Determine área dessa superfície

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a dica do exercício 23 e projetar a superfície no plano x z para encontrarmos qual função descreve a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função que descreve a área da superfície. Se projetarmos no plano x z vemos que a equação que descreve a figura vista será x 2 + z 2 ≤ 1 . Assim, temos que nossa função que será usada é x = 1 - z 2 . Substituindo na nossa integral dupla, teremos então que

∫ - 1 1 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 0 + - z 1 - z 2 2 + 1 ⋅ d A =

= ∫ - 1 1 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 z 2 1 + z 2 + 1 ⋅ d x ⋅ d z = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 1 1 - z 2 ⋅ d x ⋅ d z

= ∫ - 1 1 1 1 - z 2 ⋅ x - 1 - z 2 1 - z 2 ⋅ d z = ∫ - 1 1 2 ⋅ 1 - z 2 1 - z 2 ⋅ d z = 2 ⋅ ∫ - 1 1 d z =

= 2 ⋅ 1 + 1 = 4

Mas, temos que essa resposta é para apenas o plano x z e nossa superfície está nos quatro planos, igualmente distribuída pela simetria do problema, logo temos que multiplicar por 4 novamente, chegando então que

A S = 4 ⋅ 4 = 16

Resposta

A S ≈ 2.6959

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Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2+ y 2+ z 2= 4 z que está dentro do parabolóide z =x 2 + y 2 .
Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2+ y 2+ z 2= a 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a x e acima do plano x y .
Determine a área exata da superfície z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2 , 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 1 .
Determine a área da superfície.A Parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4
Determine a área da parte finita do paraboloide y = x 2 + z 2 limitado pelo plano y = 25 .