Enunciado

4. A figura a seguir mostra a curva velocidade versus tempo no intervalo 1   ≤   t   ≤   5 de uma partícula quese move ao longo de um eixo horizontal.

(a) O que pode ser dito sobre o sinal de aceleração naquele intervalo de tempo?

(b) Quando a partícula está aumentando sua velocidade? E quando está diminuindo?

(c) O que pode ser dito sobre a localização da partícula no instante t   =   5 , em relação à localização t = 1 ?

Passo 1

(a) A aceleração no intervalo 1   ≤   t   ≤   5 , é negativa. Para concluir isso, precisamos lembrar que v ( t ) = ∫ a ( t ) d t , e usar o teorema fundamental do cálculo, ou seja:

∫ a b a ( t ) d t = v b - v ( a )

Dai utilizamos o fato de que v a > 0 > v b p a r a   1 ≤   t ≤ 5 , daí temos que v x - v 1 = ∫ 1 x a t d t < 0   p a r a   t o d o   1 ≤   t ≤ 5 .

Passo 2

(b) Observando o gráfico, temos que não existe instante em 1   ≤   t   ≤   5 onde a velocidade aumenta, pois na verdade ela diminui por causa da aceleração negativa. Porém se considerarmos o módulo da velocidade, temos que ela descresce em 1   ≤   t   ≤   2 e cresce em 2 ≤   t   ≤   5 . Isso se conclui do fato da aceleração ser negativa e de que v 2 = 0 .

Passo 3

(c) Pode se dizer que a particula se distanciou de onde estava no instante t = 1 no sentido negativo em relação à origem do eixo da posição. Isso se conclui do fato de que s t = ∫ v t d t , a parte do gráfico que está acima do eixo e corresponde ao intervalo 1   ≤   t   ≤   2 , contribui para a posição com um valor positivo, ou seja, se afasta da origem do eixo da posição no sentido positivo.

Mas essa contribuição é menor que a contribuição negativa dada no intervalo 2   ≤   t   ≤   5 , por isso a soma deve ser um número negativo.

Matemáticamente falando:

d e s l o c a m e n t o = s 5 - s 1 = ∫ 1 5 v t d t = ∫ 1 2 v t d t + ∫ 2 5 v ( t ) d t

Observando o gráfico, concluimos que: ∫ 1 2 v t d t < ∫ 2 5 v t d t e   t a m b é m   v a l e   ∫ 2 5 v t d t < 0   e   ∫ 1 2 v t d t > 0 Juntando tudo temos que:

∫ 1 2 v t d t + ∫ 2 5 v ( t ) d t < 0

Resposta

a) Decrescente.

b) Decresce em 1   ≤   t   ≤   2 e cresce em 2 ≤   t   ≤   5

c) A partícula se distancia da origem no sentido negativo do eixo.

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