Enunciado

As figuras a seguir mostram os gráficos de y = s e n   96 x e de y = s e n   2 x , conforme são exibidos por uma calculadora gráfica TI-83.

O primeiro gráficos é inexato. Explique por que os dois gráficos parecem ser idênticos.

Passo 1

Pessoal, vamos lá! Não se assusta com essa questão!

Ela nos dá 2 funções diferentes que tem o mesmo gráfico quando usadas com uma calculadora específica. E nos pergunta porque isso acontece.

Esse problema é mais técnico e envolve o funcionamento de calculadoras gráficas. No caso, a janela da calculadora TI-83 é de 95 pixels de largura. E isso vai definir quantos pontos de cada função vamos conseguir marcar.

Como queremos plotar o gráficos no intervalo [ 0 ,   2 π ] . Considerando o primento ponto marcado como x 0 = 0 e o último como x 94 = 2 π , existirão 94 intervalos entre pontos marcados pela calculadora. O tamanho desses intervalos será

Δ x = 2 π - 0 94 = 2 π 94

Assim, os valores plotados pela calculadora serão nos pontos

x n = 0 + n ⋅ Δ x = 2 π 94 ⋅ n ,               n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   … ,   93 ,   94

Isso pras 2 funções tá!

No passo 2 vamos analisar o que acontece nesses pontos plotados pelas 2 calculadoras que faz com que os gráficos sejam iguais.

Passo 2

Quando plotamos y = s e n   2 x , os 95 pontos plotados são:

2 π 94 ⋅ n ,   s e n   2 ⋅ 2 π 94 n

Já para y = s e n   96 x , os pontos são

2 π 94 ⋅ n ,   s e n   96 ⋅ 2 π 94 n

Mas veja bem, os valores da segunda função s e n   96 ⋅ 2 π 94 n podem ser reescritos dessa forma:

s e n   96 ⋅ 2 π 94 n = s e n   94 + 2 2 π 94 ⋅ n = s e n   2 π n + 2 ⋅ 2 π 94 n

Agora vamos pegar essa relação aqui que vale pra arcos côngruos. Se a gente pega um ângulo e adiona um número inteiro de voltas no ciclo trigonométrico, o seno vai ser igual

s e n   2 π n + θ = s e n   θ

Sendo assim:

s e n   2 π n + 2 ⋅ 2 π 94 n =   s e n   2 ⋅ 2 π 94 n

E finalmente!

s e n   96 ⋅ 2 π 94 n =   s e n   2 ⋅ 2 π 94 n

Ou seja, nos pontos que a calculadora marca, as duas funções são iguais. Isso não significa que elas são iguais em todos os pontos, mas nesses elas são. Assim, por coincidência, os pontos marcados para y = s e n   96 x serão os mesmos que para y = s e n   2 x .

Concluindo, o gráfico da esquerda é impreciso: ele marca alguns pontos que coincidem exatamente com uma outra função. Nos demais pontos, onde as funções não coincidem, a calculadora não marca.

Resposta

Devido à resolução da tela da calculadora (número de pixels), são marcados apenas os pontos que as 2 funções tem em comum, fazendo com que eles pareçam iguais. Os pontos diferentes não foram marcados.

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Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. (Não use computador ou calculadora gráfica) y = 3 x y = 3 x y = x 3 y = x 3
Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. (Não use computador ou calculadora gráfica) y = x 2 y = x 5 y = x 8
Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas. y = - x 3
Como estão relacionados o gráfico de y = 2.s e n ( x ) e o de y = s e n( x ) ? Use sua resposta e a Figura 6 para esboçar o gráfico de y = 2s e n ( x ) .
Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas. y = 1 - x 2