Enunciado

Um fio com 12 cm pode ser curvado formando um círculo, dobrado formando um quadrado ou cortado em duas partes formando um círculo e um quadrado. Quanto do fio deve ser usado no círculo para que a área total englobada pela(s) figura(s) seja:

(a) máxima?(b) mínima?

Passo 1

Nesse caso, partimos o fio em dois pedaços de comprimentos x e y . Vamos assumir que seja x o comprimento do círculo e y o do quadrado, formados pela manipulação do fio.

Temos que esses valores devem somar 12: x + y = 12 .

Temos que as áreas do círculo e do quadrado, considerando os lados x e y são respectivamente:

A c = π r 2

Onde r é o raio do círculo. Precisamos escrever r em função de x , o comprimento total do círculo. Temos como comprimento x do círculo:

x = 2 π r

Logo:

r = x 2 π

Assim, reescrevemos a sentença da área do círculo substituindo r por essa expressão:

A c = π r 2 = π x 2 π 2

A c = π ∙ x 2 4 π 2   = x 2 4 π  

Passo 2

Agora, a área do quadrado em função de y :

A q = y 2

Então, o somatório A das áreas do círculo e do quadrado vai ser:

A = x 2 4 π   + y 2

Agora, pra podermos trabalhar com uma função de uma só variável (variável x ), usamos a relação x + y = 12 pra escrever y em função de x . Daí, substituímos na expressão pra A !

Temos:

y = 12 - x

Substituindo isso em A , obtemos A x :

A ( x ) = x 2 4 π   + 12 - x 2

A ( x ) = x 2 4 π   + 144 - 24 x + x 2

Passo 3

Vamos trabalhar com os pontos críticos dessa função que obtivemos. Pra isso, derivamos e igualamos a derivada a zero:

A ' x = x 2 π - 24 + 2 x

Igualamos a zero:

x 2 π - 24 + 2 x = 0

x 2 π + 2 x = 24

x + 4 π x = 48 π

x 1 + 4 π = 48 π

∴ x = 48 π 1 + 4 π ≅ 11,1

Esse é o ponto crítico da função. Precisamos determinar se é ponto de máximo ou de mínimo. Pra isso, usamos o teste da derivada segunda. Se resultar em valor positivo, é ponto de mínimo; se valor negativo, ponto de máximo.

Derivamos outra vez:

A ' ' x = 1 2 π + 2 > 0

Resultamos num número positivo. Logo, temos um ponto de mínimo! Assim, o valor de x = 48 π 1 + 4 π ≅ 11,1 representa o comprimento do círculo que fornece o mínimo somatório de área possível, pro círculo e pro quadrado.

Passo 4

Agora, precisamos do valor de x que nos dê o somatório de área máxima pra ambas as figuras.

E esse valor é o extremo do nosso intervalo possível pra x , que está entre 0 e 12. x não pode medir menos que 0, nem mais que 12.

Logo, x = 12 é o ponto de máximo, e vai ser o comprimento do círculo que fornece o máximo somatório de área possível.

Repara que, nesse caso, y valeria zero, ou seja, não construiríamos o quadrado.

Resposta

(a) x = 48 π 1 + 4 π ≅ 11,1 .

(b) x = 12 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o máximo e mínimo absoluto da função f no intervalo dado. f x = ( x 2 - 4 ) ³ ,[ - 2 ,3 ] ³
Depois de tomar um comprimido de antibiótico, a concentração do antibiótico na corrente sanguínea é modelado pela função C t = 8 ( e - 0,4 t - e - 0,6 t ) onde o tempo t é medido em horas e C é medido
Encontre o máximo e mínimo absoluto da função f no intervalo dado. f x = x e x / 2 ,- 3 ,1
Um modelo para o preço médio norte-americano para o açúcar refinado entre, 1993 e 2003, é dado pela função S t =- 0,00003237 t 5 + 0 , 0009037 t 4 - 0,008956 t 3 + 0,03629 t 2 - 0,04458t + 0,4074 Onde
Após o consumo de uma bebida alcoólica, a concentração de álcool na corrente sanguínea (concentração de álcool no sangueou BAC) aumenta à medida que o álcool é absorvido, seguido de declínio gradual à