Enunciado

Peste do estanho. Quando o estanho metálico é mantido abaixo de 13,2   ° C , torna-se lentamente quebradiço e acaba por esfarelar. Se objetos de estanho forem mantidos durante anos a baixas temperaturas, eventualmente, esfarelam-se espontaneamente. Os europeus que observaram os tubos de estanho dos órgãos das igrejas se desintegrarem no passado chamavam essa transformação de peste do estanho, porque parecia ser contagiosa, e de certa forma era, pois o pó cinza catalisa a própria formação.

Um c a t a l i s a d o r para uma reação química é uma substância que aumenta a velocidade da reação sem sofrer alteração permanente. Uma r e a ç ã o a u t o c a t a l í t i c a é aquela em que o o

produto é o catalisador da própria formação. Uma reação desse tipo pode ocorrer lentamente no início, quando a quantidade de catalisador presente é pequena, e também no final, quando a maior parte da substância original já foi consumida. Mas, nesse intervalo, quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são abundantes, a reação ocorre mais rapidamente.

Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade da reação v = d x d t é proporcional tanto à quantidade de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja, v pode ser expressa em função apenas de x , e

v = k x a - x = k a x - k x ²

Onde

x = quantidade do produto;

a = quantidade de substância no início;

k = constante positiva.

Com que valor de x a velocidade v apresenta um máximo? Qual é o valor máximo de v ?

Passo 1

Para descobrirmos o valor de x na qual a v apresenta um máximo, temos que pegar a expressão de v , derivar e igualar a zero! “OOOOXE, como assim?” Não se assutem, galera! Esse é o procedimento comum a se fazer quando estamos tratando de máximos e mínimos, beleza? Se tiver com alguma dúvida ainda, tente dar uma relembrada lá nas seções anteriores do George, belê? Sendo assim, teremos:

v = k a x - k x ²

v ' = k a - 2 k x

k a - 2 k x = 0

∴ x = a 2

Passo 2

Para descobrir se o valor de x que encontramos é, de fato, um máximo, temos que utilizar a derivada segunda para ver se a concavidade nesse ponto é para cima ou para baixo. Se derivarmos pela segunda vez, teremos:

v ' ' = - 2 k

Perceba que - 2 k é uma constante, então o valor de v ' ' é negativo, certo? Se v ' ' é negativo, isso implica que o gráfico da função tem concavidade para baixo, o que implica em um máximo! A conclusão que tiramos disso é que, de fato, a 2 é um máximo. Substituindo esse ponto na expressão original, teremos:

v a 2 = k a a 2 - k a 2 ²

∴ v a 2 = 1 4 k a ²

Resposta

x = a 2

v a 2 = 1 4 k a ²

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