Enunciado

Uma folha de papel contem 375   c m 2 de matéria impressa, com margem superior de 3,5   c m , margem inferior de 2   c m , margem lateral direita de 2   c m e margem lateral esquerda de 2,5   c m . Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.

Passo 1

Inicialmente, podemos fazer uma ilustração da folha, olha só:

O conteúdo escrito ficará apenas na parte interna da folha. Assim,

x y = 375   c m 2

E a área total da folha fica o seguinte:

A = 2,5 + x + 2 × 3,5 + y + 2

Assim,

A = x + 4,5 y + 5,5

Fazendo a distributiva:

A = x y + 5,5 x + 4,5 y + 4,5 × 5,5

Como x y = 375   c m 2 :

A = 375 + 5,5 x + 4,5 y + 4,5 × 5,5

Simplificando:

A = 5,5 x + 4,5 y + 399,75

Passo 2

Para minimizarmos, vamos deixar a equação da área em função apenas de x . Depois disso, vamos derivar e igualar a zero para achar os pontos críticos.

A = 5,5 x + 4,5 y + 399,75

Como x y = 375   c m 2 :

y = 375 x     i

Portanto,

A x = 5,5 x + 4,5 × 375 x + 399,75

Fazendo as contas:

A x = 5,5 x + 1687,5 x + 399,75

Derivando,

A ' x = 5,5 - 1687,5 x 2

Igualando a zero:

5,5 - 1687,5 x 2 = 0

Assim,

x 2 = 1687,5 5,5 → x ≅ 17,52   c m

Da equação i :

y ≅ 375 17,52 → y ≅ 21,4   c m

Passo 3

Agora que já sabemos os valores de x e y , ficou mais fácil encontrarmos as dimensões da folha. A Largura fica assim ó:

l = 2,5 + x + 2

Assim,

l = 2,5 + 17,52 + 2 → l ≅ 22,02   c m

Já para altura:

h = 3,5 + y + 2

logo,

h = 3,5 + 21,5 + 2 → h ≅ 27   c m

Resposta

22,02   c m × 27   c m

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