Enunciado

Determinar o ponto A da curva y = x 2 + x que se encontra mais próximo de 7,0 . Mostrar que a reta que passa por 7,0 e por A é normal à curva dada em A .

Passo 1

Como queremos saber o ponto da curva mais próximo do ponto 7,0 , podemos fazer a distância entre os dois pontos e minimizar. Vamos supor que A = m , n , como ele nos disse que o ponto A está na curva:

n = m 2 + m  

Logo,

A = m ,   m 2 + m

Fazendo a distância entre A e 7,0 :

d = m - 7 2 + m 2 + m - 0 2

Para minimizarmos m - 7 2 + m 2 + m 2 , podemos minimizar apenas o que está dentro da raiz.

f m = m - 7 2 + m 2 + m 2

Passo 2

Para minimizarmos, vamos derivar e igualar a zero para achar os pontos críticos.

f ' m = 2 × m - 7 + 2 × m 2 + m × m 2 + m '

Cuidado com a regra de cadeia!

f ' m = 2 m - 7 + 2 m 2 + m 2 m + 1

Igualando a zero:

2 m - 7 + 2 m 2 + m 2 m + 1 = 0

Isto é,

m - 7 + 2 m 3 + 2 m 2 + m 2 + m = 0

Simplificando:

2 m 3 + 3 m 2 + 2 m - 7 = 0

Agora precisamos achar as raízes da equação aqui de cima, mas repare que a soma dos coeficientes é 0   2 + 3 + 2 - 7 = 0 isso quer dizer que 1 é raiz da nossa equação. Então uma das soluções m = 1 . Então o ponto m fica o seguinte:

A = 1 ,   2

Passo 3

Ele nos pede para mostrar que que a reta que passa por 7,0 e por A é normal à curva dada em A . Para isso, podemos achar o coeficiente angular da reta que passa por 7,0 e A = 1,2 e achar o coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto A .  

Para reta passando por 7,0 e 1,2 :

c 1 = 2 - 0 1 - 7 → c 1 = - 1 3

Já para reta tangente, temos que lembrar que o coeficiente angular da reta rangente é a derivada no ponto. Assim,

y = x 2 + x

Derivando,

y ' = 2 x + 1

Para o ponto 1,2 :

c 2 = 2 × 1 + 1 → c 2 = 3

Pra finalizar, basta mostrarmos que a retas são perpendiculares. Isso acontece quando o produto dos coeficientes angulares dá - 1 . Vamos ver se isso ocorre no nosso caso!

c 1 × c 2 = - 1 3 × 3

Portanto,

c 1 × c 2 = - 1

Ta provado 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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