Enunciado

Se f for crescente em um intervalo 0 ,   b , segue da Definição 4.1 . 1 que f 0 < f x com qualquer x do intervalo 0 ,   b . Use esse resultado nesses exercícios.

Mostre que 1 + x 3 < 1 + 1 3 x se x > 0 e confirme a desigualdade com algum recurso gráfico computacional. [Sugestão: Mostre que f x = 1 + 1 3 x - 1 + x 3 é crescente em 0 ,   + ∞ .]

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, precisamos usar as definições e usos das derivadas. Para o caso em questão, temos a sugestão dada para verificar o comportamento da função e ver se ela é crescente ou não.

Usando a derivada, a função é crescente se a sua derivada resultar em um valor maior que 0 dentro de um intervalo aberto.

Passo 2

Então, através da inequação dada

1 + x 3 < 1 + 1 3 x

Conseguimos colocar os termos de um lado apenas da equação para obter:

f x = 1 + 1 3 x - 1 + x 3

E seguindo a sugestão mostrada no enunciado, podemos verificar se essa função é crescente em um intervalo e, a partir da Definição 4.1 . 1 , comprovar a relação da desigualdade.

Passo 3

Dessa forma, derivando a função:

f ' x = 1 3 - 1 3 1 + x 2 / 3

Vemos que a função é crescente para todos os valores x ≥ 0 , porque sua derivada é maior ou igual a zero para o intervalo 0 ,   + ∞ .

Com esse resultado e com a Definição 4.1 . 1 , podemos concluir que:

f x > f 0

Visto que:

f x = 1 + 1 3 x - 1 + x 3 > f 0 = 0

Então, se x > 0 , essa inequação pode ser reescrita como:

1 + 1 3 x - 1 + x 3 > 0

Portanto:

1 + 1 3 x > 1 + x 3

Passo 4

Essa desigualdade ainda pode ser confirmada através do esboço das curvas das funções usadas na inequação. Então, para o nosso caso foi usado o Software online chamados Desmos , no qual foi obtido:

Resposta

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