Enunciado

(a) Determine o vetor posição de uma partícula dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.

(b) Utilize o computador para traçar o caminho percorrido pela partícula.

a → t = t i → + t 2   j → + c o s 2 t k → ,     v → 0 = i → + k → ,     r → 0 = j →

Passo 1

A partir das equações paramétricas do vetor aceleração, podemos encontrar o vetor velocidade através da integração de cada componente, e repetir o mesmo processo para encontrar o vetor posição.

Passo 2

Integrando componente a componente do vetor aceleração dado temos:

v → t = t 2 2 i → + t 3 3   j → + s e n 2 t 2 k → + C

Em t=0, temos que:

v → 0 =   C = i → + k →

Dessa forma, o vetor velocidade procurado é

v → t = t 2 2 + 1 i → + t 3 3   j → + s e n 2 t 2 + 1 k → + C

Passo 3

Integrando componente a componente do vetor velocidade temos

r → t = t 3 6 + t   i → + t 4 12   j → + ( t - c o s 2 t 4 )   k → + C

Em t=0, temos que:

r → 0 =   - 1 4 k → + C = j →

Assim, temos que

C = j → + 1 4 k →

Dessa forma, o vetor posição procurado é

r → t = t 3 6 + t   i → + 1 + t 4 12   j → + ( 1 4 + t - c o s 2 t 4 )   k →

Esboçando esse caminho temos a seguinte curva, onde o parâmetro t cresce no sentido anti-horário:

Resposta

Os vetores velocidade e posição procurados são:

v → t = t 2 2 + 1 i → + t 3 3   j → + s e n 2 t 2 + 1 k → + C

r → t = t 3 6 + t   i → + 1 + t 4 12   j → + 1 4 + t - c o s 2 t 4   k →

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