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Determine a equação do plano que intercepta o eixo x em a , o eixo y em b e o eixo z em c .

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Um ponto que pertença ao plano, aqui, pode ser o primeiro que o enunciado fala, o que corta o eixo x (portanto y = z = 0 ) em a . Então esse ponto vai ser P 0 ( a , 0,0 ) .

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano. Outros dois pontos que pertencem a esse plano e são mencionados no enunciado são P 1 ( 0 , b , 0 ) e P 2 0,0 , c . A partir desses pontos, juntando com o ponto usado no passo anterior P 0 ( a , 0,0 ) , vamos determinar dois vetores. Esses dois vetores pertencem ao plano, são paralelos a ele.

Tá, e como fazer pra achar um vetor normal ao plano, não paralelo? Fazendo o produto vetorial entre eles! Show! Mas calma, vamos primeiro achar esses vetores que pertencem ao plano, para no próximo passo fazer o produto vetorial entre eles!

Primeiro vetor:

P 1 P 0 → = P 0 - P 1 = a , 0,0 - 0 , b , 0 = ( a , - b , 0 )

Segundo vetor:

P 2 P 0 → = P 0 - P 2 = a , 0,0 - 0,0 , c = ( a , 0 , - c )

Passo 3

Já que temos os dois vetores paralelos ao plano, vamos fazer o produto vetorial entre eles e determinar o vetor que seja ortogonal ao plano:

n → = P 1 P 0 → × P 2 P 0 → = i → j → k → a - b 0 a 0 - c = i → b c - 0 + j → 0 + a c + k → 0 + a b

Assim o vetor normal ao plano vai ser: n → = b c , a c , a b

Beleza?

Passo 4

Agora dá uma espiada no Passo 1 e relembra a equação do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Mas não vai confundir! Aqui a , b , c são as coordenadas do vetor normal ao plano e x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto que pertence ao plano.

No nosso caso o vetor é b c , a c , a b e vou escolher como ponto P 0 ( a , 0,0 ) . (vale para qualquer ponto viu! Desde que ele pertença ao plano, tá beleza!)

Agora é só substituir na fórmula da equação geral do plano:

b c x - a + a c y - 0 + a b z - 0 = 0

Temos assim:

b c x + a c y + a b z = a b c

Agora vou dividir a equação dos dois lados por a b c :

x a + y b + z c = 1

E essa aqui é outra forma de escrever a equação de um plano!

Resposta

x a + y b + z c = 1

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