Enunciado

Qual das fórmulas a seguir não equivale às outras duas?

a. ∑ k = 2 4 ( - 1 ) k - 1 k - 1

b.

∑ k = 0 2 ( - 1 ) k k + 1

c.

∑ k = - 1 1 ( - 1 ) k k + 2

Passo 1

O enunciado nos da três formulas e duas delas são equivalentes, temos que identificar quais são. Para isso vamos analisar separadamente cada somatória.

Passo 2

Começando pela somatória (a)

∑ k = 2 4 ( - 1 ) k - 1 k - 1

Vamos calcular os termos dessa somatória.

O primeiro termo para k=2 é ( - 1 ) 2 - 1 2 - 1 =   - 1 ;

O segundo termo para k=3 é ( - 1 ) 3 - 1 3 - 1 =   1 2   ;

O terceiro termo para k=4 é ( - 1 ) 4 - 1 4 - 1 = - 1 3 ;

Se repararmos bem, existe um padrão, perceba que o denominador (a parte debaixo da fração) varia, sendo o de cada termo uma unidade maior que a do termo anterior.

Agora o numerador (a parte de cima da fração) é sempre 1, mas oscila, quero dizer, cada termo tem o sinal oposto ao termo anterior, isso acontece porque o número na base do numerador é negativo, e o expoente varia, e quando o expoente for ímpar o resultado é negativo, tal como se o expoente for par o resultado é positivo.

Ou seja, a somatória equivale a expressão:

- 1 + 1 2 - 1 3 =   - 5 6

Passo 3

Agora vamos analisar a somatória (b)

∑ k = 0 2 ( - 1 ) k k + 1

A gente pode usar a estratégia que aprendermos no passo anterior para analisar essa somatória. Vamos lá, o numerador tem a base negativa e um expoente que oscila entre números pares e ímpares, então cada termo tem o sinal oposto ao termo anterior, começando por ‘+’. Já no denominador, todo termo tem uma unidade a mais que o termo anterior, começando por 1.

1 - 1 2 + 1 3 =   5 6

Se você quiser mais segurança pode calcular termo a termo, nesse caso são poucos termos então não vai demorar muito, mas recomendo aprender essas estratégias para analisar as somatórias.

O importante é que essa somatória é diferente da primeira.

Então já podemos ver que a somatória (a) e a somatória (b) não são equivalentes.

Passo 4

Agora vamos ver com qual das formulas anteriores a somatória (c) é equivalente.

∑ k = - 1 1 ( - 1 ) k k + 2

Novamente, no numerador a base é um número negativo e o expoente oscila entre números pares e números ímpares, então cada termo tem o sinal oposto ao termo anterior, começando por ‘-’. Já no denominador, cada termo é uma unidade maior que o termo anterior, começando por 1, então:

- 1 + 1 2 - 1 3 =   - 5 6

Olha só, não é que deu exatamente o que encontramos na fórmula (a). Podemos dizer que (a) e (c) são equivalentes.

Resposta

As fórmulas (a) e (c) são equivalentes.

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