Enunciado

A função aceleração (em m/s) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre (a) a velocidade no instante t e (b) a distância pecorrida durante o intervalo de tempo dado.

a t = 2 t + 3 , v 0 = - 4 , 0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte expressão da aceleração a em função do tempo t :

a t = 2 t + 3

Para 0 ≤ t ≤ 3 .

O enunciado também nos dá o valor da velocidade v inicial:

v 0 = - 4

Queremos encontrar a velocidade no instante t .

Para isso, devemos integrar a expressão da aceleração porque a velocidade é a antiderivada da aceleração!!

Queremos também distância pecorrida durante o intervalo de tempo dado.

Para isso, devemos integrar a expressão da velocidade porque o deslocamento é a antiderivada da velocidade!!

E aí?? Bora lá😊

Passo 2

  1. Vamos lá, queremos a velocidade, devemos lembrar que a velocidade é encontrada integrando a função aceleração, e como foi pedida no instante t , vamos calcular a integral indefinida:
  2. v t = ∫ 2 t + 3     d t = ∫ 2 t   d t + ∫ 3   d t

    Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ c f x d x = c ∫ f x d x

    ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

    ∫ k d x = k x + C

    Passo 2

    Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

    ∫ 2 t   d t = 2 ∫ t   d t = 2 ∙ t 1 + 1 1 + 1 = t 2 + C

    ∫ 3   d t = 3 t + C

    Agora é só juntar:

    v t = ∫ 2 t   d t + ∫ 3   d t = t 2 + 3 t + C

    Agora temos que descobrir o valo da constante C , mas veja bem, nós temos v 0 = - 4 , então é só subsitiuir na expressão da velocidade e achamos C :

    v 0 = 0 2 + 3.0 + C = - 4 ∴

    C = - 4

    Pronto, ficamos então com a expressão da velocidade assim:

    v t = t 2 + 3 t - 4 m/s

    Passo 3

  3. Para calcular a distância pecorrida pela partícula devemos resolver a integral da função velocidade, mas com a função em módulo:

∫ 0 3 t 2 + 3 t - 4   d t = ∫ 0 3 t + 4 t - 1

Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo. Veja bem, o que temos que fazer é separar essa integral, para isso vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:

∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x = ∫ a b f x d x

Pronto, vamos usar!! Vemos que a função é negativa quando t < 1 , vamos então usar o limite de integração de 0 a 1 com a função t 2 + 3 t - 4 = - t 2 + 3 t - 4 = - t 2 - 3 t + 4 ; e ela é positiva quando t > 1 , vamos então usar o limite de integração de 1 a 3 com a função t 2 + 3 t - 4 = t 2 + 3 t - 4 :

∫ 0 3 t 2 + 3 t - 4   d t = ∫ 0 1 - t 2 - 3 t + 4 d t + ∫ 1 3 t 2 + 3 t - 4   d t

Passo 3

Viu? Agora fica simples de resolver, vamos fazer separademente, para não confundir:

∫ 0 1 - t 2 - 3 t + 4 d t = - 1 ∙ t 2 + 1 2 + 1 - 3 ∙ t 1 + 1 1 + 1 + 4 t 0 1 = - t 3 3 - 3 t 2 2 + 4 t 0 1 = - 1 3 3 - 3 . 1 2 2 + 4.1 - - 0 3 3 - 3 . 0 2 2 + 4.0 = 13 6

E

∫ 1 3 t 2 + 3 t - 4   d t = t 2 + 1 2 + 1 + 3 ∙ t 1 + 1 1 + 1 - 4 t 1 3 = t 3 3 + 3 t 2 2 - 4 t 1 3 = 3 3 3 + 3 . 3 2 2 - 4.3 - 1 3 3 + 3 . 1 2 2 - 4.1 = 21 2 - - 13 6 = 38 3

Juntando:

∫ 0 3 t 2 + 3 t - 4   d t = ∫ 0 1 - t 2 - 3 t + 4 d t + ∫ 1 3 t 2 + 3 t - 4   d t = 13 6 + 38 3 = 89 6

Resposta

  1. A velocidade no instante t é v t = t 2 + 3 t - 4 m/s.
  2. A distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado é 89 6 m.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.8) g ( x ) = ∫ 3 x e t 2 - t . d t
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.13) h ( x ) = ∫ 1 e x ln ⁡ t . d t
Calcule a integral:21) ∫ 1 4 ( 5 - 2 t + 3 t ² ) . d t ²
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.18) y = ∫ s e nx 1 1 + t ² . d t ²
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.16) y = ∫ 1 x 4 cos ² ⁡ θ . d θ ²