Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique suas respostas.

f x = x x - 1 ,       [ 0,1 ]

Passo 1

Para que uma função satisfaça as hipóteses do teorema do valor médio, é necessário que:

Seja contínua em todos os pontos do intervalo.

Seja derivável em todos os pontos de seu interior.

Passo 2

Derivando a equação, teremos:

f ' x = 2 x + 1 2 x x + 1

Analisando o domínio da derivada, temos que:

{ x ∈ R | x > 0 }

Quando analisamos a derivada da função, consideramos o intervalo dado como aberto ]a,b[, pois a função precisa ser derivável somente no INTERIOR da função. Os extremos não são considerados.

Dessa forma, a derivada existe em todos os pontos do interior do intervalo.

Resposta

A função é contínua e derivável em todos os pontos do intervalo. Logo, atende o teorema do valor médio.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja   f x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe u
Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empat
Suponha que f seja uma função ímpar e derivável em toda a parte. Demon
Demonstre a identidade arcsen  ⁡ x - 1 x + 1 = 2 arctg ⁡ x - π 2
Mostre que a equação 2 x - 1 - s e n   x   = 0 tem exatament