Seja A o retângulo 1 <= x <= 2 , 0 <= y <= 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y ,   sendo f(x, y) igual a :

h) 1 / (x + y)^2

Passo 1

Vamos começar montando a integral. Fica assim oh:

∫ 0 1 ∫ 1 2   1 x + y 2 d x d y

Ok, pela ordem a gente integra primeiro em x , e vamos considerar o y constante por enquanto...

Integrando em x :

∫ 0 1 - 1 x + y 1 2 d y

= ∫ 0 1 - 1 2 + y + 1 1 + y d y

Passo 2

Integrando em y agora...

= - ln ⁡ 2 + y + ln ⁡ ( 1 + y ) 0 1

=   - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ ( 1 )

=   - ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ 2

Podemos dar uma organizada nessa resposta ainda, pelas propriedades do logaritmo:

- ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 3 =

= ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 = ln ⁡ 4 3

Prontinho!

Resposta

ln ⁡ 4 3

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