Enunciado

Uma função descontínua em todos os pontos

  1. Use o fato de que todo intervalo não vazio de números reais contém tanto números racionais quanto irracionais para mostrar que a função
  2. f x = 1 ,     s e   x   é   r a c i o n a l 0 ,     s e   x   é   i r r a c i o n a l

    É descontinua em todos os pontos.

  3. f é contínua à direita ou à esquerda de algum ponto?

Passo 1

Para uma função ser contínua em um ponto x = x 0 , f ( x 0 ) deve existir e o valor do limite quando x → x 0 de f ( x ) deve ser igual ao valor de f x 0 . Este é o primeiro conceito que devemos saber para resolver esta questão. O outro, é obter o limite de uma função pela definição. De uma forma bem resumida, lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = L se, para cada ϵ > 0 , existir um número correspondente δ > 0 , de modo que, para qualquer valor de x ,

0 < x - x 0 < δ ⟹ f x - L < ϵ

Passo 2

Temos que ir bem devagar nesta questão para não nos perdemos. É sempre bom ter cautela ao trabalhar limites pela definição!

Vamos começar entendendo o que acontece no nosso intervalo. Seja um intervalo aberto centrado num ponto x 0 e de amplitude 2 δ , então, ele pode ser escrito por x 0 - δ , x 0 + δ . Vamos assumir que este nosso ponto x 0 é um número racional, por questões de conveniência mesmo. Logo, nosso intervalo é possui infinitos números irracionais, basta apena que δ > 0 (critério mínimo para que exista um intervalo!).

Pronto, já construímos um intervalo e sabemos que ele é centrado em um número racional e possui infinitos números irracionais. Já trabalhamos com a primeira parte da definição de limite, vamos então para a segunda.

Se x 0 é um número racional, f x 0 = 1 , pela definição da questão. Portanto,

f x - L = f x - 1

Mas como o intervalo contém números irracionais, podemos assumir f x = 0 , pela definição do limite. Substituindo isto na relação acima, obtemos:

f x - 1 = 0 - 1 = - 1 = 1

Desta forma, temos a seguinte relação:

f x - L < ϵ

1 < ϵ

A definição de limite pede que, para qualquer ϵ > 0 , existe um δ que satisfaz aquela relação lá do passo 1. Se assumirmos ϵ < 1 , consequentemente, não existirá um δ , metade da amplitude de um intervalo aberto, que consiga satisfazer esta relação.

E se x 0 for irracional? f x 0 = 0 pode funcionar. Teríamos a seguinte relação:

f x - 0 < ϵ

f x < ϵ

Tudo depende de f ( x ) , e consequentemente, do intervalo. Agora, se existe um número racional no intervalo, f x = 1 e consequentemente, pela mesma explicação, não existirá o limite! Portanto, acabamos de provar que não existe limite. E se não existe o limite, a função não é contínua!

Passo 3

Agora que provamos que não existe limite quando x → x 0 , podemos assumir automaticamente que os limites laterais não existem??? A resposta é clara: não! Uma coisa não influencia a outra. Por isto, vamos trabalhar com os limites laterais! Vamos trabalhar com o limite à direita primeiro

A única diferença para a definição do limite é que o intervalo que estamos analisando é x 0 , x 0 + δ . Contém somente números maiores que x 0 . A argumentação contínua exatamente a mesma da letra a ) . Se x 0 for um número racional, o intervalo conterá infinitos números irracionais, e o limite não existirá pelas mesmas relações desenvolvidas no passo 2.

Já pela esquerda, cujo intervalo é x 0 - δ , x 0 , acontece o mesmo. Portanto, se os limites laterais não existem, a função não é contínua à direita ou à esquerda.

Resposta

  1. A função não é contínua à direita ou à esquerda.
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