Enunciado

Quando uma função de duas (três) variáveis independentes é

contínua em um ponto em seu domínio? Dê exemplos de fun-

ções que são contínuas em alguns pontos, mas não em outros

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício de revisão, vamos definir quando uma função de duas ou três variáveis independentes é contínua em um ponto em seu domínio.

Passo 2

Como você estudou, uma função f ( x , y ) é contínua em um ponto x 0 , y 0 se(1) f é definida em x 0 , y 0 ,(2) l i m ( x , y ) → x 0 , y 0   f ( x , y ) existir, e(3) l i m ( x , y ) → x 0 , y 0   f ( x , y ) = f x 0 , y 0 Lembre-se, então, que uma função por sua vez é contínua se ela for contínua para todos os pontos de seu domínio.

Passo 3

Para verificar essa definições, consulte o exemplo 5 do tópico 14.2 deste livro.Observe o exemplo:Seja a função: f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 , ( x , y ) = ( 0,0 ) Vamos nos aproximar de ( 0,0 ) através da reta y = m x .Observe:

l i m ( x , y ) → ( 0,0 )   x m x x 2 + ( m x ) 2 = l i m ( x , y ) → ( 0,0 )   m x 2 x 2 + m 2 x 2

Passo 4

Desta forma, o limite muda conforme o valor do coeficiente angular.Portanto, a condição 2 não é satisfeita. Por consequência a condição 3 também não é satisfeita.

Resposta

Resposta nos passos.

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Desenhe as curvas de nível e determine a imagem.f (x , y) = (x - y)/(x + y)
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem.f (x , y) = (x y)/(x^2 + y ²) ²