Enunciado

O que significa uma função ƒ(x, y) ter limite L quando

(x, y) S (x0, y0)? Quais são as propriedades básicas de limites

de funções de duas variáveis independentes?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, revisaremos o que significa uma função f ( x , y ) possuir um limite L com ( x , y ) → x 0 , y 0 . Você se lembra de quais são as propriedades básicas dos limites de duas variáveis independentes?

Passo 2

Como você estudou, a função f ( x , y ) pode possuir um limite L c o m ⁡ ( x , y ) → x 0 , y 0 . Isso ocorre de maneira similar à definição informal de limites para uma única variável, entretanto, isso pode ocorrer vindo de qualquer direção.

Passo 3

Porém, atente para o fato que o limite deverá existir e possuir o mesmo valor.A definição é:Dizemos que uma função f ( x , y ) se aproxima do limite L conforme ( x , y ) se aproxima de x 0 , y 0 .Escrevemos, então, que

l i m ( x , y ) → x 0 , y 0   f ( x , y ) = L

Passo 4

Se, para todo número ∈ > 0 , nessa condição, possuir um valor correspondente δ > 0 de forma que para todos ( x , y ) no domínio de f | f ( x , y ) - L | < ϵ sempre que 0 < x - x 0 2 + y - y 0 2 < δ

Passo 5

As propriedades básicas dos limites de duas variáveis independentes são 7 . Elas estão descritas no teorema 1 da seção 14.2 .São elas: regra da soma, regra da diferença, regra do múltiplo constante, regra do produto, regra do quociente, regra da potência e regra da raiz.Podemos expressar as regras como:2- Regra da diferença l i m ( x , y ) → x x , y 0   [ f ( x , y ) - g ( x , y ) ] = L - M 3- Regra do produto l i m ( x , y ) → x x , y 0   [ f ( x , y ) ⋅ g ( x , y ) ] = L ⋅ M 4- Regra a multiplicação por uma constante l i m ( x , y ) → x + , y 0   k f ( x , y ) = k ⋅ L 5- Regra do quociente l i m ( x , y ) → x x , y 0   f ( x , y ) g ( x , y ) = L M

Resposta

Resposta nos passos.

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Suponha que para cada natural n , A n é um subconjunto aberto do R 2 . Seja B a reunião de todos os A n e C a interseção de todos os A n . Pergunta-se B é aberto? C é aberto? Justifique.
Definia bola aberta, ponto de acumulação e conjunto aberto no R n .
SejamA e B dois subconjuntos do R 2 não seja aberto. Prove que se A e B forem abertos, então A ∪ B e A ∩ B também são.
Determine P - = x - ,y - como no teorema do valor médio, sendo dados:b) f x , y = 2 x 2 - 3 y + x y ,P 0 = 1,2eP 1 = 4,3
Seja f x , y = l n ⁡ ( x + y ) Prove que | |f x , y- f s , t | |≤ | |x , y - s , t | | Para quaisquer que sejam x , ye s , t , com x1 , y1 , s1 e t1 .